Mặt cầu có tâm thuộc d, cắt đường thẳng Δ theo một dây cung có độ dài l và tâm I cách đường thẳng Δ một khoảng là h

Phương pháp giải

Gọi M (a; b; c) thuộc Δ, u→ là một vecto chỉ phương

Khi đó, khoảng cách từ I đến đường thẳng Δ được tính theo công thức:

h=d(I;(d))=

⇒ Tìm được t ⇒ tọa độ điểm I

Gọi R là bán kính mặt cầu

⇒ R²=(l/2)² +h²

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng , t∈R và  ,t' ∈ R. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I ∈∆₁, biết Δ₂ cắt mặt cầu theo dây cung có độ dài là 8 và I cách Δ₂ một khoảng bằng 3

Hướng dẫn:

Tâm I ∈Δ₁ nên I(1;-t; -2+t)

Gọi R là bán kính của mặt cầu

⇒ R² =(l/2)² +h² =(8/2)² +3²=25

Ta có: M (3; -2; 0) ∈Δ₂, một Vecto chỉ phương của Δ₂ là u→=(0;1;1)

IM→ =(2; -2+t;2-t)

⇒ [IM→ ; u→ ]=(t-4;-2;2)

Khi đó, khoảng cách từ I đến Δ₂ là:

d(I; Δ₂ )

=3 ⇔ t² -8t +24 =18

Với t=4 +√10 thì I(1; -4 -√10;2 +√10)

Với t=4 -√10 thì I(1; -4 +√10;2 -√10)

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-1)² +(y+4 +√10)² +(z-2-√10)²=25

(x-1)² +(y+4 -√10)² +(z-2+√10)²=25

Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng  , t∈R và  , t'∈R. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I ∈Δ₁ và I cách Δ₂ một khoảng bằng 3, cho biết mặt phẳng (P): 2x + 2y – 7z = 0 cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn giao tuyến có bán kính r = 5.

Hướng dẫn:

Tâm I thuộc Δ₁ nên I (t; -t; 0)

Điểm M (5; -2; 0) thuộc Δ₂ và một vecto chỉ phương là u→=(-2;0;1)

IM→=(5-t; -2+t;0)

⇒ [IM→ ; u→ ]=(t-2;t-5;2t-4)

Khi đó, khoảng cách từ I đến Δ₂ là:

d(I; Δ₂ )

=3 ⇔ 6t² -30t+45=45

+ Điểm I₁(0;0;0) thuộc mặt phẳng (P) nên bán kính của đường tròn giao tuyến là bán kính của mặt cầu.

Phương trình mặt cầu là:

x² +y² +z²=25

+ Điểm I₂ (5; -5;0) thuộc mặt phẳng (P) nên bán kính của đường tròn giao tuyến là bán kính của mặt cầu.

Phương trình mặt cầu là:

(x-5)² +(y+5)² +z²=25