Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số cực hay

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và điểm. M₀ (x₀; y₀) ∈ (C)

Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M₀ có dạng y = f'(x₀ )(x - x₀ ) + y₀

Trong đó:

 Điểm M₀ (x₀; y₀) ∈(C) được gọi là tiếp điểm ( với y₀ = f(x₀)).

 k = f'x₀) là hệ số góc của tiếp tuyến.

 Chú ý:

 Đường thẳng bất kỳ đi qua M₀ (x₀; y₀) có hệ số góc k, có phương trình

y = k(x - x₀ ) + y₀

 Cho hai đường thẳng Δ₁:y = k₁ x + m₁ và Δ₂:y = k₂ x + m₂

Lúc đó: 

2. Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị

Cho hai hàm số y = f(x),(C) và y = g(x),(C')

(C) và (C' ) tiếp xúc nhau khi chỉ khi hệ phương trình

có nghiệm.

Nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm của hai đồ thị đó.

Đặc biệt: Đường thẳng y = kx + m là tiếp tuyến với (C):y = f(x) khi chỉ khi hệ có nghiệm.

3. Các dạng phương trình tiếp tuyến thường gặp

Cho hàm số y = f(x) gọi đồ thị của hàm số là (C)

Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y = f(x) tại M₀ (x₀; y₀)

Phương pháp

Bước 1. Tính y' = f' (x) suy ra hệ số góc của phương trình tiếp tuyến là k = y' (x₀).

Bước 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M₀ (x₀; y₀) có dạng

y - y₀ = f'(x₀)(x - x₀)

Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y = f(x) có hệ số góc k cho trước.

Phương pháp

Bước 1. Gọi M₀ (x₀; y₀) là tiếp điểm và tính y' = f' (x).

Bước 2. Hệ số góc tiếp tuyến là k = f' (x₀). . Giải phương trình này tìm được x₀ thay vào hàm số được y₀.

Bước 3. Với mỗi tiếp điểm ta tìm được các tiếp tuyến tương ứng

d: y - y₀ = f' (x₀)(x - x₀)

Chú ý: Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau:

Tiếp tuyến d Δ:y = ax + b ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến là k = a

Tiếp tuyến d Δ:y = ax + b(a ≠ 0)⇒ hệ số góc của tiếp tuyến là k = -1/a

Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc α thì hệ số góc của tiếp tuyến d là k = ±tan⁡α

Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x_A; y_A)

Phương pháp

Cách 1.

Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua A(x_A; y_A) hệ số góc k có dạng

d:y = k(x - x_A ) + y_A (*)

Bước 2: là tiếp tuyến của khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

Bước 3: Giải hệ này tìm được x suy ra k và thế vào phương trình (*), ta được tiếp tuyến cần tìm.

Cách 2.

Bước 1. Gọi M(x₀; f(x₀ )) là tiếp điểm và tính hệ số góc tiếp tuyến

k = y'(x₀ ) = f' (x₀) theo x₀

Bước 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng d = y'(x₀ )(x - x₀ ) + y₀ (**). Do điểm A(x_A; y_A) ∈ d nên y_A = y'(x₀ )(x_A - x₀ ) + y₀ giải phương trình này ta tìm được x₀ .

Bước 3. Thế x₀ vào (**) ta được tiếp tuyến cần tìm.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số (C):y = x³ + 3x². Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(1; 4).

Hướng dẫn

Ta có y' = 3x² + 6x; y'(1) = 9

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(1; 4) là:

y = 9(x - 1) + 4 = 9x - 5

Ví dụ 2: Cho hàm số (C):y = 4x³ - 6x² + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-1; -9).

Hướng dẫn

Ta có y' = 12x² - 12x

Gọi M(x₀, y₀) là tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng:

y = (12x₀² - 12x_0> )(x - x₀ ) + 4x₀³ - 6x₀² + 1

Vì tiếp tuyến đi qua điểm A(-1; -9) nên ta có:

-9 = (12x₀² - 12x₀ )( -1 - x₀ ) + 4x₀³ - 6x₀³ + 1

Với  .

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 15/4 (x - 5/4) - 9/16 = 15/4 x - 21/4

Với x₀ = -1 thì .

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 24(x + 1) - 9 = 24x + 15

Ví dụ 3: Cho hàm số (C):. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình Δ:3x - y + 2 = 0

Hướng dẫn

ĐKXĐ: x ≠ -2. Ta có y' = 3/(x + 2)² .

Phương trình Δ:3x - y + 2 = 0 hay Δ:y = 3x + 2

Gọi tọa độ tiếp điểm là M(x₀, y₀)

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình Δ:3x - y + 2 = 0 nên ta có

Với x₀ = -1 

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3(x + 1) - 1 = 3x + 2 (loại).

Với x₀ = -3 

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3(x + 3) + 5 = 3x + 14 (thỏa mãn)

B. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hàm số y = -2x³ + 6x² - 5. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ bằng 3.

Câu 2: Cho hàm số (C):y = 1/4x⁴ - 2x². Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x⁰ > 0 biết rằng y'' (x₀ )= -1.

Câu 3: Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y =(x - 5)/(-x + 1) tại điểm A của (C) và trục hoành. Viết phương trình của d.

Câu 4: Cho đồ thị hàm số y = 3x - 4x² có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 3).

Câu 5: Cho hàm số y = x³ - 3x² + 6x + 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

Câu 6: Cho hàm số (C):y = x³ - 3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc bằng 9.

Câu 7: Cho hàm số y = (-x + 5)/(x + 2) có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d:y = -1/7 x + 5/7

Câu 8: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = -x⁴ - 2x² + 3 vuông góc với đường thẳng Δ: x - 8y + 2017 = 0

Câu 9: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 1/3 x³ + 1/2 x² - 2x + 1 và tiếp tuyến tạo với đường thẳng d:x + 3y - 1 = 0 một góc 45₀.