Tính thể tích khối chóp có hình chiếu vuông góc của đỉnh

Phương pháp giải & Ví dụ

1. Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là một đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.

2. Kết quả: Trong hình chóp đều:

    + Đường cao hình chóp qua tâm của đa giác đáy.

    + Các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau.

    + Cắt mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AD = 2a, AB = a. Gọi H là trung điểm AD, biết SH vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết SA=a√5

Hướng dẫn:

Bài 2: Cho khối chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = 3a, AC = 6a. Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc đoạn AB sao cho AH = 2HB. Biết SC hợp với (ABC) một góc bằng 60º . Tính thể tích khối chóp S.ABC

Hướng dẫn:

Tam giác ABC vuông tại B, AB = 3a, AC = 6a

AH = 2HB; AB = 3a ⇒ HB = a

Có: SH⊥(ABCD) nên góc giữa SC và (ABC) là góc giữa SC và HC

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC=a√3, H là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SHC) và (SHD) cùng vuông góc với mặt đáy, đường thẳng SD tạo với đáy một góc 60º . Tính thể tích của khối chóp theo a

Hướng dẫn:

HD là hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng (ABCD). Do đó góc giữa đường thẳng SD và đáy là góc giữa HD và SD

Bài 4: Cho khối chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a√3. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60°.

Hướng dẫn:

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD khi đó SO⊥(ABCD)

suy ra góc SDO =(SD,(ABCD))=60º .

Lại có đáy ABCD là hình vuông cạnh a√3

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có góc giữa SC và mặt đáy bằng 45º , đáy ABC là tam giác vuông tại A có AB = 2a, góc ABC =60º và hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC

Hướng dẫn:

Gọi H là trung điểm của AB

Tam giác ABC vuông tại A có AB = 2a, góc ABC = 60º

HC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD), do đó, góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa HC và SC