Cách tìm giao điểm của đồ thị hàm số

A. Phương pháp giải & Ví dụ

1. Bài toán tổng quát

Trong mặt phẳng (Oxy) hãy xét sự tương giao của đồ thị hàm số 

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C₁) và hàm số y=g(x) có đồ thị là (C₂). Khi đó nếu M(x; y) là giao điểm của (C₁) và (C₂) thì tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Phương trình (*)

f(x) = g(x)

được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị (C₁) và (C₂)

Nghiệm x_o của phương trình (*) chính là hoành độ điểm chung của (C₁) và (C₂)

Khi đó tung độ điểm chung là y_o = f(x_o) hoặc y_o=g(x_o)

Nếu (*) vô nghiệm thì (C₁) và (C₂) không có điểm chung

Nếu (*) có n nghiệm thì (C₁) và (C₂) có n điểm chung

2. Phương pháp chung

Để giải một bài toán về tính chất giao điểm của hai đồ thị (C₁) và (C₂) ta có thể tiến hành theo các bước sau:

Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị (C₁) và (C₂) (tức phương trình (*))

Biến đổi phương trình này về dạng đơn giản hơn( thường thì sau khi biến đổi ta sẽ thu được phương trình bậc hai, bậc ba hoặc phương trình trùng phương…)

Dựa vào điều kiện của bài toán ban đầu, ta đưa về điều kiện cho phương trình vừa biến đổi.

3. Bài toán tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số

Bài toán: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số 

    Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (1)

    Bước 2: Giải phương trình (1) tìm x ⇒ y

    Bước 3: Kết luận số giao điểm của (C₁) và (C₂) chính là số nghiệm của (1)

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giao điểm của đồ thị hàm số (C): y = x³ - 3x² + 2x + 1 và đường thẳng y = 1

   Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm x³ - 3x² + 2x + 1 = 1

⇔ x³ -3x² + 2x = 0 ⇔ 

Với x = 0 ⇒ y = 1

Với x = 1 ⇒ y = 1

Với x = 2 ⇒ y = 1

   Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là (0; 1); (1; 1) và (2; 1)

Ví dụ 2: Tìm tọa độ giao điểm giữa đồ thị y= (2x + 1)/(2x - 1) và đường thẳng d: y = x + 2

   Hướng dẫn

Phương trình hoành đô giao điểm (2x + 1)/(2x - 1) = x + 2 (1)

Điều kiện x ≠ 1/2

Khi đó (1) ⇔ 2x + 1 = (2x - 1)(x + 2) ⇔ 2x² + x - 3 = 0 ⇔ 

Với x = 1 ⇒ y = 3

Với x = -3/2 ⇒ y = 1/2

   Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là (1; 3) và (-3/2; 1/2)

Ví dụ 3: Tìm giao điểm của đồ thị hàm số (C): y = x⁴ + 2x² - 3 và trục hoành

   Hướng dẫn

Phương trình hoành độ giao điểm x⁴ + 2x² - 3 = 0 ⇔ 

   Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là A(-1; 0), B(1; 0)