Cách tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng cực hay

A. Phương pháp giải

- Bài toán: Tìm hai số u và v biết: u + v = S, u.v = P

- Cách giải:

+ Kiểm tra điều kiện để tồn tại hai số u và v: Nếu S² < 4P thì không tồn tại hai số u và v, nếu S² ≥ 4P thì tồn tại hai số u và v

+ Trong trường hợp tồn tại, hai số cần tìm là nghiệm của phương trình                

x² – Sx + P = 0

B. Bài tập

Câu 1: Tìm u – v biết u + v = 15, u.v = 36, u > v

Giải

Vì S = 15, P = 36 thỏa mãn S² ≥ 4P nên tồn tại hai số u và v

Hai số đó là nghiệm của phương trình  x² – 15x + 36 = 0

∆ = (-15)² – 4.36 = 225 – 144 = 81 > 0

Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Vậy hai số cần tìm là: 12 và 3

Do u > v nên u = 12 và v = 3 ⇒ u – v = 12 – 3 = 9

Câu 2: Tìm hai số x, y biết x² + y² = 61 và xy = 30

Giải

Theo giả thiết ta có: 

+ Xét TH₁: x + y = 11 và xy = 30

Với S = 11, P = 30 thì S² = 121 > 4P = 120 nên tồn tại hai số x và y

Hai số x và y là nghiệm của phương trình  x² - 11x + 30 = 0

∆ = (11)² – 4.30 = 121 – 120 = 1 > 0

Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Vậy hai số cần tìm là: x = 5, y = 6 hoặc x = 6, y = 5

+ Xét TH₂: x + y = -11 và xy = 30

Với S = -11, P = 30 thì S² = 121 > 4P = 120 nên tồn tại hai số x và y

Hai số x và y là nghiệm của phương trình: x² + 11x + 30 = 0

∆ = (-11)² – 4.30 = 121 – 120 = 1 > 0

Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Vậy hai số cần tìm là: x = -5, y = -6 hoặc x = -6, y = -5

Kết hợp 2 trường hợp ta tìm được 4 cặp số x,y thỏa mãn đầu bài

x = 5, y = 6 hoặc x = 6, y = 5 hoặc x = -5, y = -6 hoặc x = -6, y = -5

Câu 3: Cho phương trình x² – 7x + q = 0, biết hiệu hai nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của phương trình

Giải

Theo Vi-et ta có: x₁ + x₂ = 7 (1)

Mặt khác theo giả thiết hiệu 2 nghiệm bằng 11 nên: x₁ - x₂ = 11 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

Ta có: x₁x₂ = q = 9.(-2) = -18

Vậy q = -18 và 2 nghiệm của phương trình là 9 và -2

Câu 4: Cho phương trình x² – qx + 50 = 0, biết phương trình có hai nghiệm và có một nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia. Tìm q và hai nghiệm của phương trình

Giải

Theo Vi-et ta có: x₁x₂ = 50 (1)

Mặt khác theo giả thiết,phương trình có một nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia nên: x₁ = 2x₂ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

Với x₁ = 10, x₂ = 5 thì:

Với x₁ = -10, x₂ = -5 thì:

Câu 5: Tìm hai số biết

a. Tổng của chúng bằng 8, tích của chúng bằng 11

b. Tổng của chúng bằng 17, tích của chúng bằng 180

Giải

a. Vì S = 8, P = 11 thỏa mãn S² ≥ 4P nên tồn tại hai số cần tìm

Hai số đó là nghiệm của phương trình  x² – 8x + 11 = 0

∆ = (-8)² – 4.11 = 64 – 44 = 20 > 0

Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Vậy hai số cần tìm là: 

b. Với S = 17, P = 180 thì S² = 289 < 4P = 720 nên không tồn tại hai số thỏa mãn yêu cầu của đề bài

Câu 6: Tìm hai số u và v biết

a. u + v = 15 và u.v = 36

b. u + v = 4 và u.v = 7

c. u + v = -12 và u.v = 20

Giải

a. Với S = 15, P = 36 thì S² = 225 > 4P = 144 nên tồn tại hai số u và v

Hai số u và v là nghiệm của phương trình: x² – 15x + 36 = 0

∆ = (-15)² – 4.36 = 225 – 144 = 81 > 0

Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Vậy hai số cần tìm là: u = 12, v = 3 hoặc u = 3, v = 12

b. Với S = 4, P = 7 thì S² = 16 < 4P = 28 nên không tồn tại hai số u,v thỏa

mãn yêu cầu của đề bài

c. Với S = -12, P = 20 thì S² = 144 > 4P = 80 nên tồn tại hai số u và v

Hai số u và v là nghiệm của phương trình  x² + 12x + 20 = 0

∆ = (12)² – 4.20 = 144 – 80 = 64 > 0

Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Vậy hai số cần tìm là: u = -2, v = -10 hoặc u = -10, v = -2