Tính số đo cung do nhiều cung tạo thành và so sánh độ dài hai cung

A. Phương pháp giải

+ Tính số đo cung do nhiều cung tạo thành

- Tính từng số đo cung nhỏ

- Sau đó cộng các số đo cung nhỏ lại ta được số đo cung lớn

+ So sánh độ dài của hai cung

- Tính toán độ dài của cung sau đó so sánh

+ Sử dụng các công thức sau để tính độ dài đường tròn và cung tròn:

- Độ dài đường tròn: C = 2πR hoặc C = πd

Trong đó: C là độ dài đường tròn.

R là bán kính đường tròn.

d là đường kính của đường tròn

- Độ dài cung tròn n^o là: 

Trong đó: l là độ dài cung tròn n^o.

R là bán kính đường tròn.

n là số đo độ của góc ở tâm.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Cho đường tròn tâm O, bán kính CA. Vẽ đường tròn đường kính OA, tâm O’.

a) Chứng minh (O) và (O’) tiếp xúc nhau.

b) M là một điểm nằm trên đường tròn (O’), tia OM cắt đường tròn (O) tại N. So sánh độ dài hai cung  và  tương ứng của hai đường tròn.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: OO’= R – R’.

Mà O, O’, A thẳng hàng suy ra hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc với nhau tại A

Xét (O’), ta có :

Đặt 

 là góc nội tiếp chắn cung AM

 là góc ở tâm chắn cung AM

⇒  = 2α

Độ dài cung  là: 

Độ dài cung  là: 

⇒  hay độ dài cung AM bằng độ dài cung AN.

Vậy độ dài hai cung  bằng độ dài cung  .

Ví dụ 2 : Hãy so sánh độ dài ba đường cong a,b,c trong hình sau:

Hướng dẫn giải

Đường cong a là nửa đường tròn đường kính 12cm nên có độ dài là:

Đường cong b gồm ba nửa đường tròn đường kính 4cm nên có độ dài là:

Đường cong c gồm hai nửa đường tròn đường kính 6cm nên có độ dài là:

Vậy ba đường cong có độ dài bằng nhau

Ví dụ 3 : Tính chu vi của hình cánh hoa, biết OA = R

Hướng dẫn giải

Theo hình vẽ ta có: 

Mà 

 (góc ở tâm chắn  )

Ta có 12 cung đơn tạo nên cánh hoa đó hay 6 cung kép tạo nên cánh hoa đó

Xét một cung kép  là cung của đường tròn tâm B, bán kính R với góc ở tâm là .

Do đó, độ dài cung  là: 

Chu vi cánh hoa sẽ bằng 6 lần độ dài cung  :  .

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1 : Cho hình vuông ABCD cạnh a. Lấy các đỉnh làm tâm, về phía trong hình vuông, dựng các cung tròn bán kính a, tạo thành một hình hoa hồng. Tìm chu vi của hình đó.

Hướng dẫn giải

Đáp án B

Hình hoa hồng được tạo bởi các cung  .

Ta nhận thấy các cung này có chiều dài bằng nhau và có cùng số đo 30^o

Độ dài cung  là: 

Khi đó, chu vi của hình đó là:  .

Câu 2 : Xem hình bên và so sánh độ dài l của cung AmB với độ dài d của đường gấp khúc AOB.

A. l > d

B. l = d

C. l < d

D. l = 3d

Hướng dẫn giải

Đáp án A

+ 

Độ dài cung 

+ Độ dài đường gấp khúc AOB: d = AO + OB = 2R .

+ Ta có:  .

Vậy độ dài cung AmB lớn hơn độ dài đường gấp khúc AOB.

Câu 3 : Cho hai hình vuông ABCD và MNPQ có cạnh a. Gọi C₁ là chu vi của đường tròn tâm O nội tiếp hình vuông ABCD và C₂ là chu vi của hình XYRT. Nhận xét nào sau đây đúng?

A. C₁ = C₂

B. C₁ > C₂

C. C₁ < C₂

D. C₁ = 2C₂

Hướng dẫn giải

Đáp án A

+ Gọi bán kính (O) là R. Khi đó, 

Ta có chu vi đường tròn (O) là:  (1)

+ Hình XYRT được tạo bởi bốn cung 

Ta nhận thấy bốn cung  lần lượt là cung của các đường tròn tâm M, N, P, Q có cùng bán kính là  với góc ở tâm là 90^o .

Độ dài  là: 

Khi đó chu vi của hình XYRT là:  (2)

Từ (1) và (2) suy ra : C₁ = C₂ hay chu vi của hai hình là bằng nhau

Câu 4 : Cho đường tròn có bán kính là 650. Người ta tô đỏ một số cung, tổng độ dài các cung được tô là 2015. Tính tổng độ dài các cung chưa được tô.

A. 4084,07

B. 2069,07

C. 2015

D. 27,03

Hướng dẫn giải

Đáp án

Độ dài đường tròn bán kính 650 là : C = 2π.650 = 4084,07

Độ dài các cung chưa được tô là: 4084,07 – 2015 = 2069,07.

Câu 5 : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi C là điểm chính giữa cung AB. Vẽ ở miền trong của nửa đường tròn này hai nửa đường tròn đường kính lần lượt là OB và OC sao cho chúng chỉ có một điểm chung là O. Gọi I là giao điểm của dây BC với nửa đường tròn nhỏ, OI cắt đường tròn lớn tại D. Chọn đáp án đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Độ dài cung AB là: 

Độ dài cung BO và CO là: 

 .

Vậy đáp án C đúng.

Câu 6 : So sánh độ dài cung  với độ dài cung 

D. Không so sánh được

Hướng dẫn giải

Đáp án A

Xét đường tròn (O), ta có: 

Khi đó, độ dài cung AB là:  (1)

Xét đường tròn (I), độ dài cung  là :  (2)

Từ (1) và (2) suy ra : 

Vậy độ dài  bằng độ dài  .

Câu 7 : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi C là điểm chính giữa cung AB. Vẽ ở miền trong của nửa đường tròn này hai nửa đường tròn đường kính lần lượt là OB và OC sao cho chúng chỉ có một điểm chung là O. Gọi I là giao điểm của dây BC với nửa đường tròn nhỏ, OI cắt đường tròn lớn tại D. Phát biểu nào dưới đây sai ?

Hướng dẫn giải

Đáp án D

+ Độ dài cung BO là: 

Độ dài cung BC là: 

+ Ta có :  nên 

Độ dài cung BI là: 

Độ dài cung BI là: 

+ Do C là điểm chính giữa cung AB nên 

Mà 

Do đó D sai.

Câu 8 : Cho hình vẽ sau, biết CD = 10cm và tam giác BCD đều, A là trung điểm CD. Tính chu vi hình quả tim

Hướng dẫn giải

Đáp án C

+ Do A là trung điểm của CD

 ,  là các nửa đường tròn đường kính AC, AD

Độ dài  bằng độ dài  bằng:  (cm)

+ Cung  ,  lần lượt là các cung thuộc đường tròn tâm C, D với bán kính là CD.

Vì tam giác CBD đều

Khi đó, độ dài cung  bằng độ dài cung  là:  (cm)

Khi đó chu vi hình trái tim là:  (cm).

Câu 9 : Cho hình vẽ sau. Gọi C₁ là độ dài cung  , C₂ là độ dài cung  , C₃ là độ dài cung  nhận xét nào sau đây đúng?

A. C₂ + C₃ = C₁

B. C₂ - C₃ = C₁

C. C₂ = C₃ = C₁

D. C₂ + C₃ = 2C₁

Hướng dẫn giải

Đáp án A

C₁, C₂, C₃ lần lượt là độ dài của các nửa đường tròn đường kính AC, AB, BC, ta có:

 .

Nhận thấy  .

Câu 10 : Trong các hình dưới đây, hình nào có chu vi lớn nhất:

A. Hình 1

B. Hình 2

C. Hình 3

D. Không có hình nào

Hướng dẫn giải

Đáp án D

- Hình 1:

Phần gạch chéo là đường tròn đường kính d = 4cm

⇒ Chu vi của hình là: C = π.d = π ≈ 12,57 (cm)

- Hình 2:

Chu vi gồm nửa đường tròn C; cung tròn C₁ và cung tròn C₂.

+ C là nửa đường tròn đường kính d = 4cm

⇒ C = π.d/2 = 2π (cm)

+ C₁ và C₂ là  đường tròn bán kính R = 2cm

⇒  (cm)

Vậy chu vi phần gạch chéo bằng:

C + C₁ + C₂ = 2π + π + π = 4π ≈ 12,57 (cm)

- Hình 3:

Chu vi cần tính là 4 cung tròn C₁ ; C₂; C₃; C₄.

C₁ ; C₂; C₃; C₄ đều là  đường tròn bán kính R = 2cm.

⇒ 

⇒ Chu vi phần hình gạch chéo:

C = C₁ + C₂ + C₃ + C₄ = 4π ≈ 12,57 (cm).