Cách xác định điểm thuộc đường thẳng, điểm không thuộc đường thẳng cực hay, có đáp án

Phương pháp giải

    Cho điểm M(x₀; y₀ ) và đường thẳng (d) có phương trình:

    y = ax + b. Khi đó:

    M ∈ (d) ⇔ y₀ = ax₀ + b;

    M ∉ (d) ⇔ y₀ ≠ ax₀ + b.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y = (2m - 1)x + m + 1 với m ≠ 1/2. Hãy xác định m trong mỗi trường hợp sau:

    a) Đồ thị hàm số đi qua M(-1; 1)

    b) Đồ thị hàm số không đi qua điểm N (1; 3)

Hướng dẫn:

    a) Đồ thị đi qua điểm M (-1; 1) nên

    1 = (2m - 1)(-1) + m + 1 ⇔ m = 1

    Vậy với m = 1 thì đồ thị hàm số đi qua điểm M (-1; 1).

    b) Đồ thị hàm số không đi qua điểm N (1; 3) nên:

    3 ≠ (2m - 1).1 + m + 1 ⇔ 3m ≠ 3 ⇔ m ≠ 1.

Ví dụ 2: Cho đường thẳng (d): y = -2x + 3. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A (-m; -3).

Hướng dẫn:

    Đường thẳng (d): y = -2x + 3 đi qua điểm A (-m; -3) khi:

    -3 = -2.(-m) + 3 ⇔ 2m = -6 ⇔ m = -3.

    Vậy đường thẳng (d): y = -2x + 3 đi qua điểm A (-m; -3) khi m = -3.

Ví dụ 3: Chứng minh rằng đường thẳng (d): (m + 2)x + y + 4m - 3 = 0 luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.

Hướng dẫn:

    Gọi điểm M(x₀; y₀ ) là điểm cố định mà (d) luôn đi qua, ta có:

    (m + 2) x₀ + y₀ + 4m - 3 = 0

    ⇔ m(x₀ + 4) + (2x₀ + y₀ - 3) = 0

    Đường thẳng (d) luôn đi qua M(x₀; y₀ ) với mọi m khi và chỉ khi:

    Vậy điểm cố định mà (d) luôn qua với mọi giá trị của m là M (-4; 11).

Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho đường thẳng (d): y = -3x + 1. Trong các điểm M(-1; 2), N(0; -1), P(1/3; 0), hãy xác định các điểm thuộc và không thuộc đường thẳng (d).

Bài 2: Cho đường thẳng (d): y = (m + 2)x + 3m - 1. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm M (-2; 3).

Hướng dẫn giải và đáp án

Hướng dẫn:

Bài 1:

    M(-1; 2) ∉ (d) vì khi x = -1 thì -3.(-1) + 1 = 4 ≠ 2

    N(0;1) ∈ (d) vì khi x = 0 thì -3.0 + 1 = 1

    P(1/3;0) ∈ (d) vì khi x = 1/3 thì (-3).1/3 + 1 = 0.

Bài 2:

    M(-2; 3) ∈ (d): y = (m + 2)x + 3m - 1 khi:

    3 = (m + 2).(-2) + 3m - 1 ⇔ 3 = -2m - 4 + 3m - 1

    ⇔ m = 8.

    Vậy đường thẳng (d): y = (m + 2)x + 3m - 1 đi qua điểm M khi m = 8.