Cách tính số đo góc ở tâm và số đo cung bị chắn cực hay, chi tiết

A. Phương pháp giải

Ta sử dụng các kiến thức sau:

- Số đo cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó

- Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360^o và số đo của cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn).

- Số đo của nửa đường tròn bằng 180^o . Cung cả đường tròn có số đo 360^o .

- Sử dụng tỉ số lượng giác của một góc nhọn để tính góc.

- Sử dụng quan hệ đường kính và dây cung.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC có   . Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác đó tiếp xúc với các cạnh AB, AC, BC theo thứ tự tại D, E, F. Tính số đo các cung DE.

Xét ΔABC , có:

Ta có AB, AC, BC lần lượt là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại D, E, F. Do đó OD ⊥ AB, OE ⊥ AC, OF ⊥ BC .

Xét tứ giác ODAE, ta có:

Vậy số đo cung DE là 120^o .

Ví dụ 2 : Dựa vào hình vẽ sau, hay tính số đo cung  .

Hướng dẫn giải

Ta có: 

Mà  là góc ở tâm chắn cung  . Do đó, ta có:  .

Vậy số đo cung  là 75^o .

Ví dụ 3 : Cho đường tròn tâm O, đường kính BC. A là điểm thuộc đường tròn sao cho  . Tính số đo cung nhỏ và cung lớn  .

Hướng dẫn giải

Ta có :

Vậy số đo cung nhỏ  là 110^o và số đo cung lớn  là 250^o .

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1 : Khẳng định nào sau đây là đúng:

A. Nếu C là một điểm nằm trên cung  thì 

B. Cung lớn có số đo nhỏ hơn 180^o

C. Góc có đỉnh trùng với tâm được gọi là góc ở tâm

D. Cung nhỏ có số đo lớn hơn 180^o

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Góc có đỉnh trùng với tâm được gọi là góc ở tâm.

Câu 2 : Cho hình vuông ABCD. Gọi O là tâm đường tròn đi qua 4 đỉnh A, B, C, D. Số đo góc ở tâm  là:

A. 30^o

B. 60^o

C. 90^o

D. 180^o

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Ta có ABCD là hình vuông

Suy ra OA = OB = OC = OD

Do đó O là tâm đường tròn đi qua 4 đỉnh A,B,C,D.

Mà AC ⊥ BD tại O ( theo tính chất hình vuông)

Câu 3 : Cho hình vẽ bên. Tính số đo cung  lớn.

A. 45^o

B. 135^o

C. 90^o

D. 315^o

Hướng dẫn giải

Đáp án D

Xét ΔOAT , có: OA = AT và 

Nên suy ra tam giác OAT vuông cân tại A.

Mà 

Ta có  là góc ở tâm chắn cung AB.

 .

Suy ra số đo cung AB lớn là: 360^o - 45^o = 315^o.

Vậy số đo cung lớn AB là: 315^o .

Câu 4 : Cho đường tròn tâm O. Hai điểm A, B nằm trên đường tròn sao cho . Tính số đo cung .

A. 30^o

B. 60^o

C. 120^o

D. 150^o

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Xét ΔOAB , ta có: OA = OB

Nên suy ra ΔOAB cân tại O

Mà  .

Câu 5 : Trong hai cung của một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau, cung nào nhỏ hơn

A. Có số đo lớn hơn

B. Có số đo nhỏ hơn 90^o

C. Có số đo lớn hơn 90^o

D. Có số đo nhỏ hơn

Hướng dẫn giải

Đáp án D

Trong hai cung của một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau, cung nào nhỏ hơn thì có số đo nhỏ hơn.

Câu 6 : Cho hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M , biết  . Tính  .

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Ta có hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M.

Do đó MO là phân giác của góc  .

Xét tứ giác OABM, ta có: .

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:  .

Vậy  và  .

Câu 7 : Cho hai tiếp tuyến tại A và B cuả đường tròn (O) cắt nhau tại M , biết  Số đo cung AB nhỏ và số đo cung AB lớn lần lượt là

A. 50^o và 310^o

B. 130^o và 230^o

C. 75^o và 285^o

D. 100^o và 260^o

Hướng dẫn giải

Đáp án B

Xét tứ giác OABM, ta có:  .

Số đo cung lớn AB là:  .

Vậy số đo cung nhỏ AB là 130^o và số đo cung lớn AB là 230^o .

Câu 8 : Chọn khẳng định đúng. Góc ở tâm là góc

A. Có đỉnh nằm trên đường tròn

B. Có đỉnh trùng với tâm đường tròn

C. Có hai cạnh là hai đường kính của dường tròn

D. Có đỉnh nằm trên bán kính của đường tròn

Hướng dẫn giải

Đáp án B

Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.

Câu 9 : Chọn khẳng định đúng. Trong một đường tròn, số đo cung nhỏ bằng

A. Số đo cung lớn

B. Số đo góc ở tâm chắn cung đó

C. Số đo ở góc của tâm chắn cung lớn

D. Số đo của cung nửa đường tròn

Hướng dẫn giải

Đáp án B

Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

Câu 10 : Trong các phát biểu dưới đây, có bao nhiêu phát biểu sai?

a) Trong hai cung trên một đường tròn, cung nào có số đo nhỏ hơn là cung nhỏ hơn.

b) Trong hai cung trên cùng một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau, hai cung bằng nhau thì có cùng số đo.

c) Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn thì lớn hơn.

d) Số đo của nửa cung tròn bằng .

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hướng dẫn giải

Đáp án C

- Trên cùng một đường tròn hoặc trên hai đường tròn bằng nhau:

+ Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng số đo bằng nhau.

+ Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.

- Số đo nửa cung tròn bằng 90^o .

Vậy có 3 đáp án đúng.