Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước

A. Phương pháp giải

Bài toán: Cho phương trình ax³ + bx² + cx + d = 0 (a ≠ 0), biết phương trình có một nghiệm x ₀, tìm các nghiệm còn lại của phương trình

Cách giải:

- Nếu x = x ₀ là nghiệm của phương trình ax³ + bx² + cx + d = 0 thì

ax³ + bx² + cx + d = (x - x ₀).f(x)

- Để tìm f(x) ta lấy đa thức ax³ + bx² + cx + d chia cho (x - x ₀).

- Giả sử f(x) = ax² + Bx + C, khi đó phương trình ax³ + bx² + cx + d = 0 được đưa về phương trình dạng tích (x - x ₀). (ax² + Bx + C) = 0

Chú ý: để tìm f(x) ngoài cách chia đa thức ta có thể sử dụng sơ đồ Hooc-ne sau

Khi đó: ax³ + bx² + cx + d = (x - x ₀).(ax² + Bx + C)

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình:  (x - 2)(x² + mx+ m² – 3) = 0 (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt

Giải

Phương trình (1) 

Phương trình (*) có 1 nghiệm x = 2 nên để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm thì phương trình (**) phải có nghiệm kép khác 2 hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 2

+ TH1: phương trình (**) có nghiệm kép khác 2 ⇔  phương trình (**) có

∆ = 0 và x = 2 không là nghiệm của (**)

+ TH2: phương trình (**) có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 2

Thay x = 2 vào phương trình (**) ta được:

Với m = -1 thì phương trình (**) trở thành: x²-x-2 = 0

Phương trình này có a – b + c = 0 nên có 2 nghiệm  x = -1, x = 2

Suy ra m = -1 thỏa mãn

Vậy m = -1, m = 2, m = -2 là các giá trị cần tìm

Ví dụ 2: Tìm các nghiệm của phương trình  x³ + x² = 12 (1), biết x = 2 là một nghiệm của phương trình

Giải

Phương trình (1) ⇔ x³+x²-12 = 0

Vì x = 2 là một nghiệm của phương trình nên lấy đa thức (x³ + x² – 12) chia cho

(x – 2). Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia:

Vậy x³ + x² – 12 =  (x – 2).( x² + 3x + 6)

Xét phương trình:  x – 2 = 0 ⇔ x = 2

Xét phương trình:  x² + 3x + 6 = 0 có ∆ = 3²  - 4.1.6 = -15 < 0 nên phương trình vô nghiệm

Vây phương trình có nghiệm duy nhất  x = 2

B. Bài tập

Câu 1: Tìm m để phương trình  (2x - 1)(x² – mx + 3m - 5) = 0 (1) có đúng 1 nghiệm

A. 1 < m < 8

B. 2 < m < 10

C. m = 4

D. m = 0

Giải

Phương trình (1) 

Phương trình (*) có 1 nghiệm   nên để phương trình (1) có đúng 1 nghiệm thì phương trình (**) phải có nghiệm kép  hoặc vô nghiệm

+ TH1: phương trình (**) có nghiệm kép 

Thay   vào phương trình (**) ta được:

+ TH2: phương trình (**) vô nghiệm ⇔ ∆ < 0

Vậy 2 < m < 10 là các giá trị cần tìm

Đáp án là B

Câu 2: Tìm m để phương trình  (x + 1)(x² + 2mx + 4) = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt và tổng các nghiệm bằng 3

A. m = 1

B. m = 6

C. Không tồn tại m

D. m = 0

Giải

Phương trình (1) 

Phương trình (*) có 1 nghiệm x₁ = -1 nên để phương trình (1) có 3 nghiệm thì phương trình (**) phải có 2 nghiệm phân biệt x₂, x₃ khác x₁ = -1

Vì x₂, x₃ là hai nghiệm của phương trình (**) nên x₂ + x₃  = -2m

Tổng các nghiệm của phương trình (1) là: x₁ + x₂ + x₃ = -1 – 2m = 3 ⇔ m = -2

m = -2 không thỏa mãn điều kiện  nên loại

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn đề bài

Đáp án là C

Câu 3: Biết rằng phương trình x³ – 5x² - 2x + 24 = 0 được đưa về phương trình (x - 4)(x² + Bx + C) = 0. Hãy tính tích các nghiệm của phương trình x² + Bx + C = 0 nếu có

A. -6

B. -7

C. -8

D. -9

Giải

Dùng sơ đồ Hooc-ne chia đa thức x³ – 5x² - 2x + 24 cho x – 4

Vậy x³ - 5x² - 2x + 24 =  (x - 4).(x² - x - 6)

Suy ra phương trình x² + Bx + C = 0 là phương trình  x² - x – 6 = 0

Phương trình này có Δ = (-1)² - 4.(-6) = 25 > 0 nên có hai nghiệm phân biệt

Theo Vi-et tích các nghiệm của phương trình là 

Đáp án A

Câu 4: Tìm m để phương trình  (x + 2)(x² – 2(m-1)x + m² – 3m) = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt và tích các nghiệm bằng 4

A. m = 1

B. m = 1, m = 2

C. m = 2

D. m = 0

Giải

Phương trình (1) 

Phương trình (*) có 1 nghiệm x₁ = -2 nên để phương trình (1) có 3 nghiệm thì phương trình (**) phải có 2 nghiệm phân biệt x₂, x₃ khác x₁ = -2

Điều này xảy ra 

Vì x₂, x₃ là hai nghiệm của phương trình (**) nên x₂. x₃  = m² - 3m

Tích các nghiệm của phương trình (1) là:

Vậy với m = 1, m = 2 thì phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn yêu cầu đặt ra

Đáp án đúng là B

Câu 5: Tính tổng các nghiệm của phương trình, biết x = -3 là một nghiệm của phương trình

Giải

Vì x = -3 là một nghiệm của phương trình nên ta lấy đa thức (2x³ + x² – 13x + 6)chia cho (x + 3). Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia

Vậy 2x³ + x² – 13x + 6 =  (x + 3).(2x² - 5x + 2)

Xét phương trình  x + 3 = 0 ⇔ x = -3

Xét phương trình  2x² - 5x + 2 = 0 có ∆ = (-5)²  - 4.2.2 = 9 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: x = 2, x = 1/2

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là: 

Đáp án là D

Câu 6: Tìm m để phương trình  (x - 1)(x² – 2(m + 1)x – 2) = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt

Giải

Phương trình (1) 

Phương trình (*) có 1 nghiệm  x = 1 nên để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt  thì phương trình (**) phải có 2 nghiệm phân biệt khác  x = 1

Vậy với  thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt

Đáp án là B

Câu 7: Biết rằng phương trình x³ – 4x² + x + 6 = 0 được đưa về phương trình

(x -3)(x² + Bx + C) = 0. Hãy tính B + C

A. -5

B. -4

C. -6

D. -3

Giải

Dùng sơ đồ Hooc-ne chia đa thức x³ – 4x² + x + 6 cho x – 3

Vậy x³ - 4x² + x + 6 =  (x - 3).(x² - x - 2)

Suy ra phương trình x³ – 4x² + x + 6 = 0 ⇔ (x - 3).(x² - x - 2) = 0

Vậy B = -1 và C = -2 ⇒ B + C = -1 – 2 = -3

Đáp án D