Cách dựng cung chứa góc cực hay, chi tiết

A. Phương pháp giải

Cho đoạn thẳng AB. Dựng cung chứa góc α dựng trên đoạn AB

Thực hiện quy trình dựng sau đây :

+ Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB;

+ Vẽ tia Ax tạo với AB một góc α ;

+ Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với Ax. Gọi O là giao điểm của Ay với d;

+ Vẽ cung AmB , tâm O, bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax. Cung AmB được vẽ như trên là một cung chứa góc α.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Dựng hình vuông ABCD ,biết đỉnh A , điểm M thuộc cạnh BC và điểm N thuộc cạnh CD

Hướng dẫn giải

Phân tích : Vì ABCD là hình vuông nên:

 hay  ; hay 

Ta có, ba điểm A, M, N cố định nên bài toán quy về việc dựng đỉnh C. Đỉnh C là giao điểm của :

- Cung chứa góc 90^o dựng trên đoạn thẳng MN

- Cung chứa góc 45^o dựng trên đoạn thẳng AM

Cách dựng:

- Dựng cung chứa góc 90^o trên đoạn MN

- Dựng cung chứa góc 45^o trên đoạn AM

Hai cung cắt nhau tại C

- Nối CM ,CN

- kẻ AB ⊥ CM tại B , AD ⊥ CN tại D

Tứ giác ABCD là hình vuông cần dựng.

Chứng minh :

Ta có: C thuộc cung chứa góc 90^o dựng trên đoạn MN ⇒ 

Ta lại có AB ⊥ CM ⇒  và AD ⊥ CN ⇒ 

⇒  . Do đó, tứ giác ABCD là hình chữ nhật

Ta lại có: C thuộc cung chứa góc AM ⇒  dựng trên cạnh AM

⇒ ΔACB vuông cân tại A

⇒ AB = AC

⇒ ABCD là hình vuông.

Ví dụ 2 : Dựng tam giác ABC biết BC = 3cm,  và AB = 3,5cm.

Hướng dẫn giải

Phân tích :

Giả sử đã dựng được ΔABC thỏa mãn yêu cầu bài toán, ta thấy:

Đoạn thẳng BC = 3cm

Điểm A thỏa mãn hai điều kiện:

- Nằm trên cung chứa góc 50^o dựng trên đoạn thẳng BC

- Nằm trên đường tròn (B; 3,5 cm)

Cách dựng :

+ Vẽ đoạn thẳng BC = 3cm

+ Dựng cung chứa góc dựng trên đoạn thẳng BC

+ Vẽ đường tròn tâm B, bán kính 3,5 cm

+ Giao của cung chứa góc trên và (B;3,5cm) ta được điểm A

+ Nối A với B, A với C ta được tam giác ABC thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chứng minh :

Xét tam giác ABC, ta có: BC = 3cm

Do A thuộc cung chứa góc dựng trên đoạn thẳng BC nên 

Mặt khác A thuộc (B;3,5 cm) nên AB = 3,5 cm.

Bài toán có hai nghiệm hình là các tam giác ABC, A’BC.

Ví dụ 3 : Dựng tam giác ABC, biết rằng:  , BC=6cm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 1 cm.

Hướng dẫn giải

Phân tích :

Giả sử dựng được ΔABC thỏa mãn yêu cầu đề bài. Tâm đường tròn nội tiếp I là giao điểm của ba đường phân giác trong nên  .

Ta thấy:

- BC = 6cm dựng được

- Điểm I thỏa mãn hai điều kiện: I nằm trên cung chứa góc 120^o dựng trên đoạn BC và I nằm trên đường thẳng d//BC, cách BC 1 cm. Suy ra dựng được điểm I.

- Từ đó dựng được BA và CA.

Cách dựng :

- Dựng BC = 6cm.

- Dựng cung chứa góc 120^o trên đoạn thẳng BC.

- Dựng đường thẳng d//BC và cách BC một khoảng 1cm. Đường thẳng này cắt cung chứa góc tại điểm I.

- Dựng tia Bx sao cho BI là phân giác của  và tia Cy sao cho CI là phân giác của  .

- Hai tia Bx và Cy cắt nhau tại A.

- Tam giác ABC là tam giác phải dựng.

Chứng minh :

Ta có I thuộc cung chứa góc 120^o dựng trên đoạn BC nên 

⇈ 

Ta lại có:  (BI là phân giác của  )

 (CI là phân giác của  )

Vì I là giao điểm của hai đường phân giác trong góc B và góc C nên I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, hơn nữa ta có khoảng cách từ I đến BC bằng 1 cm nên bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1cm.

Biện luận :

Trên nửa mặt phẳng bờ BC, đường thẳng d và cung chứa góc cắt nhau tại hai điểm, hai hình bằng nhau nên bài toán có một nghiệm hình.

Ví dụ 4 : Dựng một cung chứa góc 55^o trên đoạn thẳng AB = 3cm.

Hướng dẫn giải

Cách dựng :

+ Dựng đoạn thẳng AB = 3cm.

+ Dựng đường trung trực d của đoạn thẳng AB.

+ Dựng góc 

+ Dựng tia Ay vuông góc với tia Ax.

+ d cắt Ay tại O.

+ Dựng đường tròn tâm O, bán kính OA.

 là cung chứa góc 55^o cần dựng.

Chứng minh :

+ O thuộc đường trung trực của AB

⇒ OA = OB

⇒ B thuộc đường tròn (O; OA).

Ax ⊥ AO ⇒ Ax là tiếp tuyến của (O; OA).

⇒  là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây AB

Lấy M ∈  ⇒  là góc nội tiếp chắn cung nhỏ 

⇒  ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến với dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

⇒ 

⇒  là cung chứa góc 55^o dựng trên đoạn AB = 3cm.

Kết luận : Bài toán có một nghiệm hình.

Ví dụ 5 : Dựng tam giác ABC, biết BC = 6cm, góc A = 40^o và đường cao AH = 4cm.

Hướng dẫn giải

Cách dựng :

+ Dựng đoạn thẳng BC = 6cm.

+ Dựng tia Bx sao cho 

+ Dựng tia By ⊥ Bx.

+ Dựng đường trung trực của BC cắt By tại O.

+ Dựng đường tròn (O; OB).

Cung lớn BC chính là cung chứa góc 40^o dựng trên đoạn BC.

+ Dựng đường thẳng d song song với BC và cách BC một đoạn 4cm:

Lấy D là trung điểm BC.

Trên đường trung trực của BC lấy D’ sao cho DD’ = 4cm.

Dựng đường thẳng d đi qua D’ và vuông góc với DD’.

+ Đường thẳng d cắt cung lớn BC tại A.

Ta được ΔABC cần dựng.

Chứng minh :

+ Theo cách dựng có BC = 6cm.

+ A ∈ cung chứa góc 40^o dựng trên đoạn BC

⇒ 

+ A ∈ d song song với BC và cách BC 4cm

⇒ AH = DD’ = 4cm.

Vậy ΔABC thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Biện luận : Do d cắt cung lớn BC tại hai điểm nên bài toán có hai nghiệm hình.