Tìm m để phương trình trùng phương vô nghiệm, có 1, 2, 3, 4 nghiệm

A. Phương pháp giải

Cho phương trình  ax⁴ + bx² + c = 0 (a ≠ 0)    (1)

Đặt t = x² (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành: at² + bt + c = 0 (2)

+ Để phương trình (1) vô nghiệm thì phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm âm

+ Để phương trình (1) có 1 nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm kép t = 0 hoặc có1 nghiệm âm và 1 nghiệm bằng 0

+ Để phương trình (1) có 2 nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm kép dương hoặc có 2 nghiệm trái dấu

+ Để phương trình (1) có 3 nghiệm thì phương trình (2) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương

+ Để phương trình (1) có 4 nghiệm thì phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình  (m – 1)x⁴ + 2(m – 3)x² + m + 3 = 0 (1) vô nghiệm

Giải

Đặt t = x² (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành: (m – 1)t² + 2(m – 3)t + m + 3 = 0 (2)

Nếu m = 1 thì phương trình (2) có dạng: -4t + 4 = 0 ⇔ t = 1

Với t = 1 ⇒ x²=1 ⇔ x=±1

Suy ra m = 1 không thỏa mãn

Nếu m ≠ 1 thì phương trình (2) là phương trình bậc hai

Để phương trình (1) vô nghiệm thì phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm âm

+ Xét TH1: phương trình (2) vô nghiệm ⇔ Δ' < 0 

+ Xét TH2: Phương trình (2) có nghiệm âm 

Kết hợp điều kiện m ≠ 1 ta có với m < -3 hoặc m > 3/2 thì phương trình (1) vô nghiệm

Ví dụ 2: Cho phương trình  x⁴ – 2(m + 4)x² + m² = 0 (1). Tìm m để phương trình (1)

a. Có nghiệm

b. Có 1 nghiệm

c. Có 2 nghiệm phân biệt

d. Có 3 nghiệm phân biệt

e. Có 4 nghiệm phân biệt

Giải

Đặt t = x², khi đó phương trình (1) trở thành:  t² – 2(m + 4)t + m² = 0 (2)

a. Để phương trình (1) vô nghiệm thì phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm âm

+ Xét TH1: Phương trình (2) vô nghiệm ⇔ Δ' < 0

+ Xét TH2: Phương trình (2) có nghiệm âm 

Vậy với m < -2 thì phương trình (1) vô nghiệm

b. Để phương trình (1) có 1 nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm kép t = 0 hoặc có1 nghiệm âm và 1 nghiệm bằng 0

Vì t = 0 là nghiệm của phương trình (2) nên thay t = 0 vào (2) ta được:

m² = 0 ⇔ m = 0

Với m = 0 thì phương trình (2) có dạng:  

Suy ra m = 0 không thỏa mãn

Vậy không có giá trị nào của m để phương trình (1) có 1 nghiệm

c. Để phương trình (1) có 2 nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm kép dương hoặc có 2 nghiệm trái dấu

+ Xét TH1: phương trình (2) có nghiệm kép dương

∆ꞌ = 8m + 16 = 0 ⇔ m = -2

Với m = -2 thì phương trình (2) có nghiệm kép 

Suy ra m = -2 thỏa mãn

+ Xét TH2: phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu ⇔ a.c < 0

⇔ m² < 0 (bất phương trình vô nghiệm )

Vậy với m = -2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

d. Để phương trình (1) có 3 nghiệm thì phương trình (2) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương

theo kết quả câu (b) ta có với m = 0 thì phương trình (2) có 2 nghiệm: t = 0, t = 8

Suy ra m = 0 thỏa mãn

Vậy với m = 0 thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

e. Để phương trình (1) có 4 nghiệm thì phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt       

Vậy với m > -2 và m ≠ 0 thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

B. Bài tập

Câu 1: Số giá trị của m để phương trình  x⁴ – (m + 2)x²  + m = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt là

A. 1

B. 3

C. 5

D. vô số

Giải

Đặt t = x² (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành:  t² – (m + 2)t + m = 0 (2)

Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương

Vì t = 0 là nghiệm của phương trình (2) nên thay t = 0 vào (2) ta được: m = 0

Với m = 0 thì phương trình (2) có dạng:  

Suy ra m = 0 thỏa mãn

Vậy với m = 0 thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

Đáp án là A

Câu 2: Tìm m để phương trình  x⁴ + (1 – 2m)x² + m² - 1 = 0 (1) vô nghiệm

A. không tồn tại m                       

B. m < -1 hoặc m > 5/4

C. m > -1 hoặc m < -3

D. m > 2 hoặc m < -1

Giải

Đặt t = x² (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành:  t² + (1 – 2m)t + m² -1 = 0 (2)

Để phương trình (1) vô nghiệm thì phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm âm

+ Xét TH1: Phương trình (2) vô nghiệm ⇔ Δ < 0

+ Xét TH2: Phương trình (2) có nghiệm âm 

Vậy với m < -1 hoặc m > 5/4 thì phương trình (1) vô nghiệm

Đáp án là B

Câu 3: Tìm m để phương trình  (m - 2)x⁴ – 2(m + 1)x² + m - 1 = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt

A. m = 1                

B. m = -1

C. m = 0         

D. không tồn tại m

Giải

Đặt t = x² (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành:  (m - 2)t² – 2(m + 1)t + m -1 = 0 (2)

Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải là phương trình bậc hai có 2 nghiệm ,trong đó một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương

Vì t = 0 là nghiệm của phương trình (2) nên thay t = 0 vào (2) ta được:

m - 1 = 0 ⇔ m = 1

Với m = 1 thì phương trình (2) có dạng:

Suy ra m = 1 không thỏa mãn đề bài

Vậy không có giá trị nào của m để phương trình (1) có 3 nghiệm

Đáp án là D

Câu 4: Số giá trị của m để phương trình  mx⁴ – 2(m – 1)x² + m – 1 = 0 (1) có 1 nghiệm là

A. 0

B. 1

C. 2

D. vô số

Giải

Đặt t = x² (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành:  mt² – 2(m – 1)t + m - 1 = 0 (2)

Nếu m = 0 thì phương trình (2) có dạng:  2t - 1 = 0 ⇔ t = 1/2

Suy ra m = 0 không thỏa mãn đề bài

Nếu m ≠ 0 thì phương trình (2) là phương trình bậc hai

Để phương trình (1) có 1 nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm kép t = 0 hoặc có1 nghiệm âm và 1 nghiệm bằng 0

Vì t = 0 là nghiệm của phương trình (2) nên thay t = 0 vào (2) ta được:

m - 1 = 0 ⇔ m = 1

Với m = 1 thì phương trình (2) có dạng: t² = 0 ⇔ t = 0 ⇒ x² = 0 ⇔ x = 0

Suy ra m = 1 thỏa mãn đề bài

Vậy với m = 1 thì  phương trình (1) có 1 nghiệm

Đáp án là B

Câu 5: Tìm m để phương trình  (m + 2)x⁴ + 3x² - 1 = 0 (1) có 4 nghiệm phân biệt

Giải

Đặt t = x² (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành:  (m + 2)t² + 3t -1 = 0 (2)

Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) là phương trình bậc hai có 2 nghiệm dương phân biệt  

Vậy với  thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

Đáp án là C

Câu 6: Số giá trị của m để phương trình  mx⁴ + 5x² – 1 = 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt là

A. 1

B. 2

C. 3

D. vô số

Giải

Đặt t = x² (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành:  mt² + 5t - 1 = 0 (2)

Nếu m = 0 thì phương trình (2) có dạng: 

Suy ra m = 0 thỏa mãn

Nếu m ≠ 0 thì phương trình (2) là phương trình bậc hai

Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có nghiệm kép dương hoặc có 2 nghiệm trái dấu

+ Xét TH1: phương trình (2) có nghiệm kép dương

Với   thì phương trình (2) có nghiệm kép:

Suy ra  thỏa mãn

+ Xét TH2: phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu ⇔ a.c < 0

⇔ -m < 0 ⇔ m > 0

Kết hợp điều kiện m ≠ 0 ta có với m = 0, , m > 0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

Đáp án là D

Câu 7: Tìm m để phương trình  x⁴ – (3m + 4)x² + 12m = 0 (1) có 4 nghiệm phân biệt là

Giải

Đặt t = x² (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành:  t² – (3m + 4)t + 12m = 0 (2)

Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

Vậy với m > 0 và m ≠ 4/3 thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

Đáp án là B