Cách lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của phương trình đó

A. Phương pháp giải

- Bài toán: Lập phương trình bậc hai ẩn x có 2 nghiệm: x₁ = a, x₂ = b

- Cách giải:

+ Tính 

+ Kết luận: x₁, x₂ là nghiệm của phương trình x² - Sx + P = 0

Ví dụ 1: Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình: 2x²-3x-1 = 0. Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y₁, y₂ thỏa mãn

Giải

Xét phương trình 2x²-3x-1 = 0 có a.c = 2.(-1) = -2 < 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi-et ta có: 

a) Ta có:

Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm y₁, y₂ là: .

b) Ta có:

Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm y₁, y₂ là: .

Ví dụ 2: Lập phương trình bậc hai ẩn x có 2 nghiệm: x₁ = 3, x₂ = 2

Giải

Ta có: 

Suy ra x₁ = 3, x₂ = 2 là hai nghiệm của phương trình  x² - 5x + 6 = 0

Ví dụ 3: Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình: 3x² + 5x - 6 = 0. Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y₁, y₂ thỏa mãn y₁ = 2x₁ - x₂ và y₂ = 2x₂ - x₁.

Giải

Xét phương trình có 3x² + 5x - 6 = 0 có a.c = 3.(-6) < 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Theo Vi-et ta có: 

Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm y₁, y₂ là: .

B. Bài tập

Câu 1: Phương trình bậc hai ẩn x có hai nghiệm là 

A. x² + 4x – 1 = 0

B. x² - 4x – 1 = 0

C. x² + 4x + 1 = 0

D. x² - 4x + 1 = 0

Giải

Ta có: 

Suy ra  là hai nghiệm của phương trình  x² - 4x + 1 = 0

Đáp án đúng là D

Câu 2: Lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y₁ = x₁ + 2x₂² và y₂ = x₂ + 2x₁², biết x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình x² - 5x - 1 = 0

A. y² - 59y + 283 = 0

B. y² - 17y + 171 = 0

C. y² - 7y + 370 = 0

D. y² + 8y - 17 = 0

Giải

Phương trình  x² - 5x - 1 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂ nên 

Với hai nghiệm y₁ và y₂ thì:

Suy ra y₁, y₂  là hai nghiệm của phương trình  y² - 59y + 283 = 0

Đáp án đúng là A

Câu 3: Lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y₁ = 2x₁-1 và y₂ = 2x₂-1, biết x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình x² - 3x + 2 = 0

A. y² - 5y + 3 = 0

B. y² - 4y + 3 = 0

C. y² - 2y + 4 = 0

D. y² + 8y - 7 = 0

Giải

Phương trình  x² - 3x + 2 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂ nên 

Với hai nghiệm y₁ và y₂ thì

Vậy y₁, y₂ là nghiệm của phương trình y² – 4y + 3 = 0

Đáp án B

Câu 4: Lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y₁ = 2x₁ và y₂ = -5x₂, biết x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình x² - 6x + 5 = 0 (x₁ <  x₂)

A. y² - 23y + 50 = 0

B. y² - 23y + 5 = 0

C. y² + 23y - 50 = 0

D. y² + 23y - 7 = 0

Giải

Phương trình  x² - 6x + 5 = 0 có a + b + c = 1 – 6 + 5 = 0 nên có hai nghiệm x₁ = 1, x₂ = 5

Với hai nghiệm y₁ và y₂ thì

Vậy y₁, y₂ là nghiệm của phương trình y² + 23y - 50 = 0

Câu 5: Lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y₁ = 2x₁ – x₂ và y₂ = 2x₂ – x₁, biết x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình  x² - 7x + 3 = 0

A. y² + 7y + 71 = 0

B. y² – 7y - 71 = 0

C. y² – 7y + 71 = 0

D. y² + 7y - 71 = 0

Giải

Phương trình x² - 7x + 3 = 0 có ∆ = (-7)² – 4.1.3 = 37 > 0 nên có 2 nghiệm x₁, x₂

Ta có: 

Với hai nghiệm y₁ = 2x₁ – x₂ và y₂ = 2x₂ – x₁ thì

Suy ra y₁, y₂  là hai nghiệm của phương trình  y² - 7y - 71 = 0

Đáp án đúng là B

Câu 6: Biết x₁, x₂  là hai nghiệm của phương trình x² + 11x + 5 = 0. Lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm là số đối của x₁, x₂

A. y² + 8y + 1 = 0

B. y² - 7y - 21 = 0

C. y² - 11y + 5 = 0

D. y² + y - 1 = 0

Giải

Phương trình  x² + 11x + 5 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂ nên 

Với hai nghiệm y₁ = -x₁ và y₂ = -x₂ thì

Suy ra y₁, y₂  là hai nghiệm của phương trình  y² – 11y + 5 = 0

Đáp án đúng là C

Câu 7: Phương trình bậc hai ẩn x có hai nghiệm là 3 và -7

A. x² + 4x – 21 = 0

B. x² - 4x – 21 = 0

C. x² + 4x + 21 = 0

D. x² - 4x + 21 = 0

Giải

Ta có: 

Suy ra x₁ = 3, x₂ = -7 là hai nghiệm của phương trình  x² + 4x - 21 = 0

Đáp án đúng là A

Câu 8: Phương trình bậc hai ẩn x có hai nghiệm là   biết x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình x² - 2mx + m² - 1 = 0 là

Giải

Vì x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình:  x² - 2mx + m² - 1 = 0 nên

Ta có: 

Với hai nghiệm là   thì 

Suy ra hai số  là nghiệm của phương trình 

Đáp án đúng là D

Câu 9: Phương trình bậc hai ẩn x có hai nghiệm là 

Giải

Ta có:

Suy ra 2 số đã cho là hai nghiệm của phương trình: 

Đáp án đúng là C