Cách tính Tỉ số lượng giác của góc nhọn cực hay, có đáp án

Lý thuyết và Phương pháp giải

1. Định nghĩa

2. Định lí

    Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tang góc này bằng cotang góc kia.

3. Một số hệ thức cơ bản

4. So sánh các tỉ số lượng giác

    a) Cho α,β là hai góc nhọn. Nếu α < β thì

    * sinα < sinβ; tanα < tanβ

    *cosα > cosβ; cotα > cotβ

    b) sinα < tanα; cosα < cotα

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho ΔABC với .Chứng minh rằng:

Hướng dẫn:

    Kẻ AH vuông góc với BC, H ∈ BC

    Ta có: S_ABC = 1/2.AH.BC (1)

    Xét tam giác ABH vuông tại H có:

    sinB = AH/AB ⇒ AH = AB.sinB (2)

    Từ (1) và (2),ta có

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, góc A bằng 60⁰. Vẽ các đường cao AD và CE. Chứng minh rằng: BC = 2DE

Hướng dẫn:

    Ta có: ΔABD ~ ΔACE (g.g)

    Xét ΔADE và ΔABC có:

    ⇒ ΔADE ~ ΔABC (c.g.c)

    Vậy BC = 2DE

Ví dụ 3: Chứng minh rằng giá trị cuả các biểu thức sau không phụ thuộc vào số đo của góc nhọn α

    a) A = cos⁴α + 2cos²α.sin²α + sin⁴α

    b) B = sin⁴α + cos²α.sin²α + cos²α

Hướng dẫn:

    a) A = cos⁴ α + 2cos² α.sin² α + sin⁴ α

    =(cos² α + sin² α)² = 1² = 1

    b) B = sin⁴ α + cos² α.sin² α + cos² α

    = sin² α(sin² α + cos² α) + cos² α

    = sin² α.1 + cos² α = 1

    = 2(1 + tan² α) - 2tan² α = 2

Ví dụ 4: Không dùng bảng số hay máy tính , hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần: cos 65⁰; sin 20⁰; cot 40⁰, tan 48⁰

Hướng dẫn:

    Ta có: cos 65⁰ = sin 25⁰; cot 40⁰ = tan ⁡ 50⁰

    Sắp xếp: sin 20⁰ < sin 25⁰ < sin 48⁰ < tan 48⁰ < tan ⁡ 50⁰

    Do đó: sin 20⁰ < cos 65⁰ < tan 48⁰ < cot 40⁰

Ví dụ 5: Chứng minh định lí sin: Trong tam giác nhọn, độ dài các cạnh tỉ lệ với sin của các góc đối diện:

Hướng dẫn:

    Vẽ đường cao CH, ta có:

    Do đó:

    Chứng minh tương tự, ta có:

    Vậy

Chuyên đề Toán 9: đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác