Cách giải bài tập Liên hệ giữa cung và dây cực hay, chi tiết

A. Phương pháp giải

Ta thường sử dụng các kiến thức:

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

+) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.

+) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.

+) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

+) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A và B. Kẻ các đường kính AOC, AO'D. Gọi E là giao điểm thứ hai của AC với đường tròn (O').

a) So sánh các cung nhỏ BC, BD.

b) Chứng minh rằng B là điểm chính giữa của cung EBD (tức là điểm B chia cung EBD thành hai cung bằng nhau: 

Hướng dẫn giải

a) Vì A, B, C ∈ (O)

⇒ BO = OA = OC

⇒ BO = AC/2.

Tam giác ABC có đường trung tuyến BO và BO bằng một nửa cạnh AC

⇒ Tam giác ABC là tam giác vuông tại B ( định lí)

Chứng minh tương tự

Đường tròn tâm O và O’ bằng nhau ⇒ AC = AD (AC,AD lần lượt là đường kính của (O) và (O’)).

Xét hai tam giác vuông ΔABC và ΔABD có:

AB chung,

AC = AD

⇒ ΔABC = ΔABD (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

⇒ BC = BD (hai cạnh tương ứng)

⇒  (liên hệ giữa cung và dây)

b) Xét tam giác AED có đường trung tuyến EO' bằng một phần hai cạnh tương ứng là AD ( O'E = O'A = O'D = AD/2)

⇒ Tam giác AED vuông tại E

⇒  hay 

⇒ ΔECD vuông tại E.

Ta có: 

Suy ra: C, B, D thẳng hàng.

Tam giác ECD vuông tại E,

có B là trung điểm CD

⇒ EB là đường trung tuyến

⇒ EB = BD (=CD/2).

⇒  (Liên hệ giữa cung và dây) hay B là điểm chính giữa cung  .

Ví dụ 2 : Cho đường tròn (O). Gọi I là điểm chính giữa cung AB (Không phải là cung nửa đường tròn) và H là trung điểm của dây AB. Chứng minh rằng đường thẳng IH đi qua tâm O của đường tròn.

Hướng dẫn giải

Ta có:  (do I là điểm chính giữa cung AB)

⇒ IA = IB (2 cung bằng nhau căng 2 dây bằng nhau)

⇒ I nằm trên đường trung trực của AB

Ta có: OA = OB (bán kính (O))

⇒ O nằm trên đường trung trực của AB

Suy ra: OI là đường trung trực của AB

H là trung điểm của AB, do đó OI đi qua trung điểm H

Vậy 3 điểm I, H, O thẳng hàng.

Ví dụ 3 : Dựa vào hình vẽ sau, hãy so sánh AB và CD:

Hướng dẫn giải

Ta có:

Do đó, 

Mà  là góc ở tâm chắn 

Và  là góc ở tâm chắn 

 (cung lớn hơn căng dây lớn hơn).

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1 : Cho tam giác ABC . Trên tia đối của tia AB lấy một điểm D sao cho AD = AC. Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC. Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc OH, OK với BC và BD (H ∈ BC, K ∈ BD). So sánh OH và OK.

A. OH = OK

B. OH > OK

C. OH < OK

D. OH = 2OK

Hướng dẫn giải

Đáp án B

Xét ΔABC có: BC < AB + AC (Bất đẳng thức tam giác)

Mà AD = AC (gt)

⇒ BC < AB + AD = BD

Mà OH là khoảng cách từ O đến dây BC, OK là khoảng cách từ O đến dây BD

⇒ OH > OK.( định lý về khoảng cách từ tâm đến dây).

Câu 2 : Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD song song với AB ( C thuộc cung  . Qua M là điểm chính giữa cung  vẽ các dây ME, MF sao cho ME//AC, MF//BD. Δ MEF là tam giác gì?

A. Tam giác cân

B. Tam giác vuông

C. Tam giác đều

D. Tam giác vuông cân.

Hướng dẫn giải

Đáp án A

Ta có M là điểm chính giữa cung CD ⇒ (1)

Vì AC//ME ⇒ (2)

MF//DB ⇒ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: 

Mặt khác, CD//AB ⇒ 

Ta có 

⇒  ⇒ME = MF (liên hệ giữa cung và dây)

Suy ra tam giác MEF cân tại M.

Câu 3 : Cho ΔABC nội tiếp đường tròn tâm O, có  . Cho các phát biểu sau:

Các phát biểu đúng là:

A. Cả ba phát biểu trên

B. (I) và (II)

C. (I) và (III)

D. (II) và (III)

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Xét ΔABC , ta có: 

⇒ 

⇒ BC > AB = AC( Theo mối liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác)

⇒ ( Theo mối liên hệ giữa cung và dây).

Câu 4 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, điểm C và D nằm trên nửa đường tròn sao cho  và tia OC nằm giữa hai tia OA và OD. Tìm khẳng định đúng

Hướng dẫn giải

Đáp án A

Vì OC nằm giữa hai tia OA và OD nên:

Ta có: 

Vậy A đúng, B, C, D sai.

Câu 5 : Cho đường tròn (O) đường kính AB và một cung AC có số đo nhỏ hơn 90^o. Vẽ dây CD vuông góc với AB và dây DE song song với AB . Chọn kết luận sai?

A. AC = BE

B. Số đo cung AD bằng số đo cung BE

C. Số đo cung AC bằng số đo cung BE

D. 

Hướng dẫn giải

Đáp án D

Ta có CD ⊥ AB

Mà DE//AB

DE ⊥ CD ⇒  ⇒ CE là đường kính hay C, O, E thẳng hàng.

⇒  (hai góc đối đỉnh) (1)

Xét tam giác ODC cân tại O, có OA ⊥ CD, nên :

OA là phân giác của 

Từ (1) và (2) suy ra: 

Ta có  là góc ở tâm chắn  là góc ở tâm chắn  là góc ở tâm chắn 

⇒  ( liên hệ giữa góc ở tâm và số đo cung)

⇒ AC = BE = AD ( liên hệ giữa cung và dây).

Vậy đáp án D sai.

Câu 6 : Chọn khẳng định đúng.

A. Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây (không đi qua tâm) thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.

B. Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.

C. Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì song song với dây căng cung ấy.

D. Trong một đường tròn, hai đường kính luôn vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án A

+ Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây (không qua tâm) thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.

+ Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.

+ Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông với dây căng cung ấy và ngược lại

+ Trong một đường tròn hai đường kính không nhất thiết phải vuông góc với nhau.

Câu 7 : Cho tam giác ABC cân tại A có  nội tiếp đường tròn (O) . Trong các cung nhỏ AB, BC, CA thì cung nào là cung lớn nhất?

A. Cung AB

B. Cung AC

C. Cung BC

D. Cung AB và cung AC

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Vì tam giác ABC cân tại A có 

Theo mối liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác ta có:

BC > AB = AC

Theo mối liên hệ giữa cung và dây:  .

Vậy  là cung lớn nhất.

Câu 8 : Cho đường tròn (O) có hai dây AB, CD song song với nhau. Kết luận nào sau đây là đúng?

A. AD > BC

B. Số đo cung AD bằng số đo cung BC

C. AD < BC

D. 

Hướng dẫn giải

Đáp án B

Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB và CD, cắt AB, CD lần lượt tại H và K.

Xét tam giác ODC, có:

OD = OC( là bán kính (O)) nên tam giác ODC cân tại O

Mà OK ⊥ DC ⇒ OK là phân giác của 

Xét tam giác OAB, có:

OA = OB( là bán kính (O)) nên tam giác OAB cân tại O

Mà OH ⊥ AB ⇒ OH là phân giác của 

Ta lại có: 

Phương án A, C, D sai, B đúng.

Câu 9 : Chọn khẳng định đúng. Cho đường tròn (O) có dây cung AB > CD khi đó

A. Cung AB lớn hơn cung CD

B. Cung AB nhỏ hơn cung CD

C. Cung AB bằng cung CD

D. Số đo cung AB bằng hai lần số đo cung BC

Hướng dẫn giải

Đáp án A

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau

+ Cung lớn hơn căng dây lớn hơn

+ Dây lớn hơn căng cung lớn hơn

Nên dây AB > CD thì cung AB lớn hơn cung CD

Câu 10 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Lấy các điểm C và D trên nửa đường tròn sao cho:  . Tìm khẳng định sai?

A. CD < CA

B. BD < CA

C. CD < BD

D. 

Hướng dẫn giải

Đáp án D

Ta có:

Ta lại có:  là góc ở tâm chắn cung 

 là góc ở tâm chắn cung 

 là góc ở tâm chắn cung 

 .

Vậy A, B, C đúng; D sai.