Cách giải bài tập Hệ thức về góc và cạnh trong tam giác vuông cực hay

Lý thuyết và Phương pháp giải

1. Các hệ thức

    Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

    a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cos góc kề

    b) Cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối hoặc cot góc kề

    b = a.sinB = a.cosC

    c = a.sinC = a.cosB

    b = c.tanB = c.cotC

    c = b.tanB = b.cotC

2. Giải tam giác vuông

    Là tìm tất cả các yếu tố còn lại của một tam giác vuông khi biết trước hai yếu tố (trong đó có ít nhất một yếu tố về cạnh và không kể góc vuông)

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải tam giác ABC vuông tại A biết AC = 4,1 cm; BC = 5,7 cm

Hướng dẫn:

    Xét tam giác ABC vuông tại A:

    Áp dụng định lí Pytago có:

    BC² = AB² + AC²

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nhọn, Vẽ 3 đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng:

    AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC

Hướng dẫn:

    ΔABE vuông tại E có: AE = AB.cosA

    ΔFBC vuông tại F có: BF = BC.cosB

    ΔADC vuông tại D có: CD = AC.cosC

    ⇒ AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC

Ví dụ 3: Cho tam giác nhọn ABC, AB < AC, đường cao AH = h và đường trung tuyến AM, đặt góc HAM bằng α. Chứng minh rằng:

    a) HC - HB = 2h.tan⁡α

Hướng dẫn:

    a) Ta có:

    HC - HB = HM + MC - (MB - HM)

    = HM + MC - MB + HM = 2HM (Do MB = MC)

    = 2AH.tan⁡α = 2h.tan⁡α

    b) Δ AHC vuông tại H có: HC = AH.cot⁡C = h.cot⁡C

    Δ AHB vuông tại H có: HB = AH.cot⁡B = h.cot⁡B

    Do đó: HC - HB = h(cot⁡C - cot⁡B)

    ⇒ 2h.tan⁡α = h(cot⁡C - cot⁡B)

Ví dụ 4: Tam giác ABC có diện tích S, các đường cao không nhỏ hơn 1 cm. Chứng minh rằng S ≥ √3/3 cm²

Hướng dẫn:

    Giả sử: 

    Suy ra sin⁡C ≤ √3/2

    Vẽ các đường cao AD và BE

    Xét tam giác EBC vuông tại E có: BE = BC.sinC

    Diện tích tam giác ABC là:

    Vậy S ≥ √3/3 cm² (dấu bằng xảy ra khi ΔABC đều)

Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD, góc D bằng α < 90⁰. Vẽ BH ⊥ CD; BK ⊥ AD.

    a) Chứng minh rằng ΔBHK ~ ΔABD

    b) Chứng minh rằng HK = BD.sinα

    c) Tính diện tích tứ giác KBHD biết AB = 6cm; AD = 4cm; α= 60⁰

Hướng dẫn:

    Xét tam giác ABK và tam giác CBH có:

    Xét ΔBHK và ΔADB có:

    ⇒ ΔBHK ~ ΔADB (c.g.c)

    b) ΔBHK ~ ΔADB

    Xét ΔBCH vuông tại H có:

    c) Xét ΔKAB vuông tại K có:

    AK = AB.cosα = 6.cos 60⁰ = 3(cm) ⇒ DK = 7cm

    BK = AB.sinα = 6.sin 60⁰ =3 √3 (cm)

    Xét ΔHBC vuông tại H có:

    CH = BC.cosα = 4.cos 60⁰ = 2(cm) ⇒ DH = 8cm

    BH = BC.sinα = 4.sin 60⁰ = 2√3 (cm)

    Diện tích tứ giác KBHD là: