Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn hay, chi tiết

Lý thuyết và Phương pháp giải

1. Bảng tóm tắt

    Trong đó, d là khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng.

2. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến

    Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

3. Tính chất của tiếp tuyến

    Nếu một đường thẳng là một tiếp tuyến của đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

4. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.

    Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

    - Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

    - Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

    - Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

5. Đường tròn nội tiếp tam giác

    - Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn.

    - Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm các đường phân giác các góc trong của tam giác.

6. Đường tròn bàng tiếp tam giác

    - Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.

    - Tâm đường tròn bàng tiếp góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đoạn thẳng AB và hai tia Ax, By vuông góc với AB ở trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB. Gọi O là trung điểm của AB. Xét góc vuông mOn quay quanh O sao cho Om cắt Ax tại C, On cắt By tại D. Chứng minh rằng:

    a) CD luôn tiếp xúc với nửa đường tròn (O; AB/2)

Hướng dẫn:

    a) Kéo dài DO cắt tia đối của tia Ax tại E. Dễ thấy

    ΔBOD = ΔAOE (g.c.g)

    ⇒ OD = OE

    Mà CO ⊥ DE (gt)

    ⇒ ΔCDE cân tại C

    Kẻ OM ⊥ CD ta lại có:

    ΔAOC = ΔMOC (cạnh huyền-góc nhọn)

    ⇒ OA = OM

    Điều này chứng tỏ M thuộc đường tròn (O) nên CD là tiếp tuyến của đường tròn (O) hay CD tiếp xúc với nửa đường tròn (O; AB/2)

    b) Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

    AC = CM; DB = DM

    ⇒ AC. DB = CM. DM

    Xét tam giác COD vuông tại O có OM là đường cao nên:

    CM.DM = OM² = AB²/4

    Vậy AC.DB = AB²/4

Ví dụ 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Lấy AO làm đường kính vẽ nửa đường tròn tâm O’ cùng phía với (O). Một cát tuyến bất kì qua A cắt (O’) và (O) lần lượt tại C và D.

    a) Chứng minh C là trung điểm của AD và các tiếp tuyến tại C và D với các nửa đường tròn song song với nhau.

    b) Hãy xác định điểm C sao cho BC là tiếp tuyến của (O’)

Hướng dẫn:

    a) Vì C, D thuộc nửa đường tròn đường kính AO, AB nên

    ⇒ CO // BD

    Mà OA = OB nên OC là đường trung bình của ΔABD

    ⇒ C là trung điểm của AD

    Xét ΔAOD có O’C là đường trung bình

    ⇒ O’C // OD

    ⇒ Các tiếp tuyến tại C và D của (O’) và (O) phải song song với nhau ( vì cùng vuông góc với hai đường thẳng song song)

    b) Nếu BC là tiếp tuyến của (O’) thì BC ⊥ CO' hay góc O'CB bằng 90⁰

    ⇒ C thuộc nửa đường tròn đường kính O’B

    Vậy C là giao điểm của nửa đường tròn (O’) và nửa đường tròn đường kính O’B

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi (O₁; R₁ ) là đường tròn nội tiếp ΔABC và (O₂; R₂ ) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh:

Hướng dẫn:

    a) Gọi tiếp điểm của (O₁; R₁ ) với các cạnh AB, BC, CA lần lượt là M, P, N

    Dễ thấy tứ giác AMO₁N là hình vuông

    ⇒ AM = AN = R₁

    BM và BP là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O₁; R₁ ) nên theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có BM = BP

    Tương tự, CN và CP là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O₁; R₁ ) nên CN = CP

    Ta có:

    AB + AC = AM + BM + AN + NC

    AB + AC = 2R₁ + BP + CP

    AB + AC = 2R₁ + BC = 2R₁+ 2R_2

    b) Theo câu a, ta có:

Ví dụ 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB; AC là một dây cung của nó. Kẻ tiếp tuyến Ax và kẻ đường phân giác của góc Cax cắt đường tròn tại E và cắt BC kéo dài tại D.

    a) Chứng minh rằng ΔABD cân và OE // BD

    b) Gọi I là giao điểm của AC và BE. Chứng minh DI ⊥ AB

    c) Khi C di chuyển trên đường tròn (O) thì D chạy trên đường nào?

Hướng dẫn:

    a) Vì C ∈ (O) nên 

    Ta có: 

    Mà 

    ⇒ ΔADB cân tại B.

    Chứng minh OE // DB

    Vì E ∈ (O) nên góc AEB bằng 90⁰ hay BE ⊥ AD

    Do ΔADB cân tại B nên BE vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

    ⇒ E là trung điểm của AD

    Lại có O là trung điểm của AB

    Nên OE là đường trung bình của ΔADB

    ⇒ OE // BD

    b) Ta có:

    BE ⊥ AD

    AC ⊥ BD

    AC cắt BE tại I

    ⇒ I là trực tâm của ΔADB ⇒ DI ⊥ AB

    c) Do ΔADB cân tại B nên BD = BA = 2R ⇒ D nằm trên đường tròn tâm B bán kính 2R

    Giới hạn: Khi C di chuyển tới B thì D di chuyển tới D₁ (BD₁ = 2R), D₁ ∈ By,By ⊥ AB. Vậy D di chuyển trên cung một phần tư đường tròn ADD₁

Ví dụ 5: Chứng minh rằng diện tích của một tam giác bằng nửa chu vi của nó nhân với bán kính đường tròn nội tiếp .

Hướng dẫn:

    Ta có: OD ⊥ BC; OE ⊥ AC; OF ⊥ AB

    Gọi S là diện tích của tam giác ABC.

    S= S_AOB + S_BOC + S_COA

    = 1/2.OF.AB + 1/2.OD.BC + 1/2.OE.AC

    = 1/2.r.(AB + BC + CA)

    = pr

    Với p là nửa chu vi của tam giác, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.