Các dạng bài tập về phương trình bậc hai một ẩn cực hay, có đáp án

A. Phương pháp giải

Dạng 1.1: Giải phương trình: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Bước 1: Xác định các hệ số a; b; c (hoặc a; b'; c) của phương trình bậc hai ax² + bx + c.

Bước 2: Tính Δ = b² - 4ac (hoặc Δ' = b'² - ac ).

+ TH1: Δ < 0, phương trình vô nghiệm.

+ TH2: Δ = 0, phương trình có nghiệm kép 

+ TH3: Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt 

Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình (nếu có).

Bước 4: Kết luận.

Dạng 1.2: Kiểm tra một giá trị x₀ có là nghiệm của phương trình: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) hay không.

Bước 1: Thay giá trị x₀ vào vế trái của phương trình: ax₀ + bx₀ + c

Bước 2: Kết luận.Tính vế trái. Nếu kết quả bằng 0 thì x₀ là một nghiệm của phương trình.

Bước 3: Kết luận.

Định lý Vi-ét: Nếu phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁, x₂ (phân biệt hoặc trùng nhau) thì tổng các nghiệm  và tích các nghiệm .

Dạng 2.1: Tìm tham số m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.

Bước 2: Tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo định lý Vi-ét.

Bước 3: Sử dụng hệ thức Vi-ét, kết hợp biến đổi đẳng thức, bất đẳng thức để tìm tham số.

Bước 4: Đối chiếu điều kiện và kết luận.

Dạng 2.2: Tìm tham số và tìm nghiệm còn lại khi biết trước một nghiệm x₀ của phương trình.

Bước 1: Thay giá trị x₀ vào phương trình để tìm tham số.

Bước 2: Thay giá trị của tham số hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm còn lại.

Bước 3: Kết luận.

Dạng 2.3: Khi phương trình bậc hai có nghiệm, tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số.

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.

Bước 2: Tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo định lý Vi-ét.

Bước 3: Tính m theo S và P.

Bước 4: Khử m và tìm ra hệ thức.

Bước 5: Kết luận.

Dạng 2.4. Áp dụng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

Cho phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0).

+) Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x₁ = 1 và x₂ = .

+) Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x₁ = -1 và x₂ = .

Dạng 2.5. Tìm hai số khi biết tổng và tích

Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì hai số đó là nghiệm của phương trình x² - Sx + P = 0 .

Điều kiện để có u và v là S² - 4P ≥ 0.

Dạng 3.1: Giải và biện luận phương trình theo tham số m

Bước 1: Xác định các hệ số a; b; c (hoặc a; b'; c).

Bước 2: Giải phương trình theo m:

+) Với giá trị của m mà a = 0, giải phương trình bậc nhất.

+) Với giá trị của m mà a ≠ 0, giải phương trình bậc hai: Tính Δ = b'² - ac (hoặc Δ' = b² - 4ac), xét các trường hợp của Δ chứa tham số và tìm nghiệm theo tham số.

Bước 3: Kết luận.

Biện luận phương trình:

- Phương trình có nghiệm khi:

+) Với giá trị của m mà a = 0, phương trình bậc nhất có nghiệm.

+) Với giá trị của m mà a ≠ 0, phương trình bậc hai có nghiệm.

- Phương trình có một nghiệm khi:

+) Với giá trị của m mà a = 0, phương trình bậc nhất có nghiệm.

+) Với giá trị của m mà a ≠ 0, phương trình bậc hai có nghiệm kép.

- Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi: Giá trị của m mà a ≠ 0, phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt.

Dạng 3.2: Xác định dấu các nghiệm của phương trình

Bước 1: Xác định hệ số.

Bước 2: Tính Δ = b² - 4ac (hoặc Δ' = b² - 4ac) để kiểm tra phương trình có nghiệm hay không.

Bước 3: Trong trường hợp phương trình có nghiệm (Δ ≥ 0 hoặc Δ' ≥ 0), tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo định lý Vi-ét để xét dấu các nghiệm của phương trình.

+) Phương trình có hai nghiệm cùng dấu: P > 0.

+) Phương trình có hai nghiệm dương: .

+) Phương trình có hai nghiệm âm: .

+) Phương trình có hai nghiệm trái dấu: P < 0.

Chú ý: Phương trình có hai nghiệm trái dấu chỉ cần xét P < 0 hoặc a.c < 0.

Bước 4: Kết luận.

Dạng 3.3: Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

Dạng 3.3.1: Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện về dấu hoặc thỏa mãn đẳng thức, bất đẳng thức liên hệ giữa các nghiệm

Bước 1: Tìm điều kiện a ≠ 0 (nếu cần) và điều kiện để phương trình có nghiệm.

Bước 2: Tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo định lý Vi-ét.

Bước 3: Sử dụng hệ thức Vi-ét, kết hợp biến đổi đẳng thức, bất đẳng thức để tìm tham số.

Bước 4: Đối chiếu điều kiện và kết luận.

Dạng 3.3.2: Tìm tham số m để phương trình có một nghiệm là x₀.

Bước 1: Thay giá trị x₀ vào phương trình để tìm tham số.

Bước 2: Thay giá trị của tham số vào phương trình hoặc hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm còn lại.

Bước 3: Kết luận.

Dạng 3.3.3: Tìm giá trị của tham số để hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung.

Bước 1: Tìm điều kiện để các phương trình có nghiệm.

Bước 2: Tìm nghiệm chung và tìm tham số: Có thể giả sử x₀ là nghiệm chung, lập hệ phương trình trình hai ẩn (x₀ và tham số) và giải hệ phương trình.

Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.

B. Các ví dụ điển hình

Ví dụ 1: Tập nghiệm của phương trình x² + 3x - 1 = 0 là:

Lời giải

Chọn C

Ví dụ 2: Giá trị nào sau đây là nghiệm của phương trình 3x² + 7x + 2 = 0

Lời giải

Chọn B

Ví dụ 3: Phương trình x² - 2mx + m = 0 với m = 1 có tập nghiệm là:

Lời giải

Chọn C

Ví dụ 4: Cho phương trình bậc hai (m - 1)x² - 2mx + m + 1 = 0 (m là tham số). Các giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm nguyên là:

Lời giải

Chọn A

Ví dụ 5: Phương trình x² + (2m + 1)x + 3m = 0 (với m là tham số) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm là x₁ = 3, nghiệm còn lại là x₂ bằng:

Lời giải

Chọn D

Ví dụ 6: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình x² - (m + 3)x + 2m - 5 = 0 không phụ thuộc vào m.

Lời giải

Chọn A

Ví dụ 7: Cho phương trình x² - 2x - 8 = 0 có hai nghiệm x₁ và x₂. Phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm là y₁ = x₁ - 3 và y₂ = x₂ - 3 là:

Lời giải

Chọn C

Ví dụ 8: Giải phương trình x² - 2x + 1 - m² = 0 với m là tham số, m ≠ 0.

Lời giải

Chọn A

Ví dụ 9: Cho phương trình x² + √7x + 1 = 0. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải

Chọn B

Ví dụ 10: Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình x² - 2x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ sao cho x₁².x₂² ≤ 4 là:.

Lời giải

Chọn B

Ví dụ 11: Phương trình bậc hai mx² + (2m + 1)x + 3 = 0 có một nghiệm là x = -1. Giá trị của m và nghiệm còn lại là:

Lời giải

Chọn A

Ví dụ 12: Cho hai phương trình bậc hai x² + 2x + m = 0 (1) và x² + mx + 2 = 0 (2) (với m là tham số). Tìm m để hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung.

Lời giải

Chọn B

Ví dụ 13: Cho phương trình x² + mx - 6m² = 0 với m là tham số. Chọn khẳng định sai:

Lời giải

Chọn A

Ví dụ 14: Cho phương trình mx² - 2(m + 1)x + m + 2 = 0. Chọn kết luận đúng.

Lời giải

Chọn B

Ví dụ 15: Khi phương trình x² + (m + 1)x - m = 0 có nghiệm kép, giá trị của nghiệm kép là:

Lời giải

Chọn C

Ví dụ 16: Cho phương trình x² - 2x + 1 - m² = 0 với m là tham số. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải

Chọn D

Ví dụ 17: Giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m để phương trình x² - 2(m + 7)x + m² - 4 = 0 có hai nghiệm trái dấu là:

Lời giải

Chọn C

Ví dụ 18: Phương trình 2x² + (2m - 1)x + m - 1 = 0 có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối nhưng trái dấu nhau khi:

Lời giải

Chọn C

Ví dụ 19: Tìm m để phương trình x² - 2(m - 2)x - 6m = 0 có nghiệm x₁; x₂ sao cho biểu thức x₁² + x₂² đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải

Chọn D

Ví dụ 20:Tìm m để mx² - 2(m + 1)x + m + 3 = 0 là phương trình bậc hai nhận x = -2 là nghiệm.

Lời giải

Chọn A

Ví dụ 21: Tìm m để hai phương trình x² + x + m - 2 = 0 (1) và x² + (m - 2)x + 1 = 0 (2) có nghiệm chung.

Lời giải

Chọn D