Cách giải hệ phương trình 2 ẩn bậc hai cực hay, chi tiết

A. Phương pháp giải

Để giải hệ phương trình chứa 2 ẩn x và y gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai ta rút x hoặc y từ phương trình bậc nhất thế vào phương trình bậc hai

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình 

a. Giải hệ với m = 3

b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất

Giải

Từ phương trình (1) ⇒  y = x + 1. Thế vào phương trình (2) ta được:

a. Với m = 3 thì phương trình (*) trở thành: 3x² – 2x = 0

b. Hệ có nghiệm duy nhất khi (*) có nghiệm duy nhất

TH1: Nếu m = 0 thì phương trình (*): 4x – 3 = 0  (thỏa mãn)

TH2: Nếu m ≠ 0 thì (*) là phương trình bậc 2 . Khi đó (*) có nghiệm duy nhất khi

Vậy với m = 0 hoặc m = 4 thì hệ có nghiệm duy nhất

Ví dụ 2: giải hệ phương trình: 

Giải

Từ phương trình (1) ⇒ y = 2x – 7(*). Thế vào phương trình (2) ta được:

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình 

Giải

Từ phương trình (2) ⇒ y = x + 1(*). Thế vào phương trình (1) ta được

B. Bài tập

Câu 1: Cho hệ phương trình . Giá trị của m để hệ có hai nghiệm là:

Giải

Biến đổi hệ đã cho về dạng:

Hệ có 2 nghiệm khi phương trình (*) có 2 nghiệm

Vậy đáp án đúng là C

Câu 2: Cho hệ phương trình . Tìm m để hệ có hai nghiệm (x₁ ; y₁) và (x₂ ; y₂) sao cho  là:

Giải

Biến đổi hệ đã cho về dạng:

Hệ có 2 nghiệm khi phương trình (*) có 2 nghiệm

⇔ Δ' > 0 ⇔ (m - 1)² - m² + 2m + 3 > 0 ⇔ 4 > 0 (∀ m)

⇒ phương trình (*) luôn có 2 nghiệm : x₁ = m + 1; x₂ = m – 3

Với x₁ = m + 1 ⇒ y₁ = 1

Với x₂ = m – 3 ⇒ y₂ = -3

Vậy đáp án đúng là B

Câu 3: Cho hệ phương trình . Rút y từ phương trình (1) thế vào phương trình (2) ta được phương trình nào sau đây

A. 2x² + 4x - 3 = 0

B. x² – 10x - 2 = 0

C. 3x² – 4x + 4 = 0

D. x² – 5x  + 1 = 0

Giải

Vậy đáp án đúng là B

Câu 4: Số nghiệm của hệ phương trình  là

A. 1

B. 2               

C. 3            

D. 4

Giải

Từ (1)⇒  x = 1 – 3y. Thế vào (2): (1 – 3y)² + y - 5 = 0

⇔ 9y² - 6y + 1 + y - 5 = 0 ⇔ 9y² - 5y - 4 = 0

Phương trình 9y² – 5y – 4 = 0 có a + b + c = 9 – 5 – 4 = 0 nên có 2 nghiệm y = 1, y = 

Vậy đáp án đúng là B

Câu 5: Cho hệ phương trình  . Biết rằng hệ đã cho có 2 nghiệm (x₁ ; y₁) và (x₂ ; y₂) trong đó x₁ > x₂ , tính x₁ + y₁

A. 1              

B. 2                    

C. 3

D. 4

Giải

Vậy đáp án đúng là D

Câu 6: Cho hệ phương trình  . Rút x từ phương trình (1) thế vào phương trình (2) ta được phương trình nào sau đây

A. y² + 4 = 0

B. 3y² + y - 3 = 0

C.-y² - 4 = 0

D. y² – 5y  + 4 = 0

Giải

Từ (1)  x = y – 2. Thế vào (2): (y - 2)² - y = 0

⇔ y² - 4y + 4 - y = 0 ⇔ y² - 5y + 4 = 0

Vậy đáp án đúng là D

Câu 7: Cho hệ phương trình  . Giá trị của m để hệ vô nghiệm là:

Giải

Biến đổi hệ đã cho về dạng:

Hệ vô nghiệm khi phương trình (*) vô nghiệm

Vậy đáp án đúng là B

Câu 8: Cho hệ phương trình . Giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất là:

Giải

Biến đổi hệ đã cho về dạng:

Hệ có nghiệm duy nhất khi phương trình (*) có nghiệm duy nhất

Vậy đáp án đúng là A

Câu 9: Cho hệ phương trình . Rút y từ phương trình (1) thế vào phương trình (2) ta được phương trình nào sau đây

A. x + 3 = 0

B. 2x² + x + 3 = 0

C. -x + 3 = 0

D. –x² + x  + 3 = 0

Giải

Từ (1)⇒  y = 1 – x. Thế vào (2):

2t² – 3t – 5 = 0

⇔ x² + x - x² + 3 = 0 ⇔ x + 3 = 0

Vậy đáp án đúng là A

Câu 10: Cho hệ phương trình  . Biết rằng hệ đã cho có 2 nghiệm (x₁ ; y₁) và (x₂ ; y₂), tính x₁ + x₂

Giải

Từ (1) ⇒ y = x – 5. Thế vào (2): 2(x + x – 5)² - 3(x + x – 5) - 5 = 0

⇔ 2(2x - 5)² - 3(2x - 5) - 5 = 0

Đặt t = 2x – 5. Phương trình trở thành: 2t² – 3t – 5 = 0 

Vậy đáp án đúng là C