Cách tính số đo góc nội tiếp cực hay, chi tiết

A. Phương pháp giải

Ta áp dụng các kiến thức sau để tính số đo góc nội tiếp:

1. Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng một nửa số đo của cung bị chắn.

2. Trong một đường tròn:

a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

c) Góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Một chiếc cầu được thiết kế như hình 21 có độ dài AB = 40m, chiều cao MK = 3m. Hãy tính bán kính của đường tròn chứa cung AMB.

Hướng dẫn giải

Gọi (O; R) là đường tròn chứa cung AMB.

Kẻ đường kính MC.

K là trung điểm .

 là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

⇒  = 90º

⇒ ΔMBC vuông tại B, có BK là đường cao

⇒ BK² = MK.KC ( hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông)

Vậy  .

Ví dụ 2 : Qua điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai cát tuyến ABC và ADE với đường tròn đó (B nằm giữa A và C, D nằm giữa A và E). Kẻ dây BF // DE. Chứng minh rằng:

Hướng dẫn giải

a) Ta có: 

và 

Mặt khác DE // BF

⇒  (hai góc so le trong)

Mà  là góc nội tiếp chắn cung 

 là góc nội tiếp chắn cung 

⇒ 

Ta lại có: 

Từ đó suy ra  .

b) Vì BF // DE nên  (hai góc đồng vị)

Mà  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CF) ⇒ 

Lại có  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD)

Xét ΔACE và ΔDCF, ta có:

 (cmt)

 (cmt)

Suy ra ΔACE ∼ ΔDCF (g.g)

Ví dụ 3 : Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc với nhau của đường tròn (O; R). Qua điểm M thuộc cung nhỏ AC (M ≠ A, M ≠ E) kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt AB, CD lần lượt tại E, F.

a) Chứng minh: 

b) Xác định vị trí điểm M trên cung nhỏ AC sao cho  . Khi đó tính độ dài đoạn thẳng OE, ME, EF theo R.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:  là góc ở tâm chắn cung MA

 là góc nội tiếp chắn cung MA

⇒ 

Vì EF là tiếp tuyến với (O) tại M nên OM ⊥ EF

Ta có  (cùng phụ với  )

⇒  hay 

b)

Xét ΔAOM có: OA = OM

⇒ ΔAOM cân tại O

Ta có: 

ΔAOM đều nên AM = OA = R.

Vậy nếu M ∈ (O) và AM = R thì 

Xét ΔOME vuông tại M, ta có:

 .

Ta có  là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung 

 là góc ở tâm chắn cung 

⇒ 

⇒ ΔMEA cân tại A

⇒ AE = AM

Mà AE = OA = OM, OE = OA+EA

⇒ OE = 2MO = 2R

Vì ΔEOF vuông tại O, ta có:

 .

Ví dụ 4 : Cho hình vẽ có CA = CD. Hãy tính số đo  .

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ACD có CA = CD nên ΔACD cân tại C

⇒ 

Mà 

Ta lại có:  (hai góc nội tiếp cùng chắn  ).

Vậy 

Ví dụ 5 : Cho đường tròn (O; R) đường kính BC cố định. Điểm A di động trên đường tròn khác B và C. Vẽ đường kính AOD. Xác định vị trí điểm A để diện tích ΔABC đạt giá trị lớn nhất, khi đó 

Hướng dẫn giải

Kẻ đường cao AH của tam giác ABC

Diện tích tam giác ABC là: 

Vì BC là đường kính nên BC cố định

Suy ra diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất khi AH lớn nhất

Xét tam giác AHO vuông tại H, Ta có AH ≤ AO ( AO là cạnh huyền)

⇒

Dấu “=” xảy ra khi H ≡ O.

Khi đó A là điểm chính giữa cung BC hay AD ⊥ BC.

Xét tam giác ACD, có:

 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Ta có CO vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao

Suy ra ΔACD vuông cân tại C

⇒  .

Vậy diện tích tam giác ABC lớn nhất khi A nằm chính giữa cung BC và  .

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1 : Cho đường tròn tâm O và 2 đường kính AB và CD. Biết rằng  . Tìm khẳng định sai ?

Hướng dẫn giải

Đáp án B

+ Ta có  (hai góc kề bù)

Suy ra A đúng.

+  và  là các góc nội tiếp chắn cung 

 là góc ở tâm chắn cung 

Suy ra B sai, C đúng.

+  và  là các góc nội tiếp chắn cung 

 là góc ở tâm chắn cung 

 .

Suy ra D đúng.

Câu 2 : Cho đường tròn (O) và góc nội tiếp  . Gọi D là giao điểm của OC và đường tròn (O). Tính số đo góc cung  .

Hướng dẫn giải

Đáp án A

Ta có  là góc nội tiếp chắn 

Khi đó số đo cung BC nhỏ là : 

Ta lại có :  là góc nội tiếp chắn cung 

Xét ΔOBD có : OD = OB

⇒ ΔOBD cân tại O

 (góc  là góc ở tâm chắn cung BD)

Vậy  .

Câu 3 : Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (O; 4) .Biết rằng AC = 4cm . Lấy D là điểm bất kì khác A, B,C trên đường tròn. Chọn khẳng định đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Xét ΔAOC , có: OA = OC = AC = 4cm

Suy ra ΔAOC đều

 . Suy ra B sai.

Ta có:  (hai góc nội tiếp cùng chắn  ). Suy ra A sai.

Xét ΔABC vuông tại A, ta có :

 (hai góc nhọn phụ nhau)

 . Suy ra D sai.

Ta lại có:  (hai góc nội tiếp cùng chắn  ). Suy ra C đúng.

Câu 4 : Cho bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn tâm O. Biết góc  . Khi đó số đo góc  là :

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Ta có :  là góc ở tâm chắn  .

 là góc nội tiếp chắn  .

Khi đó  .

Câu 5 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O), biết  .

Tính số đo của cung  .

A. 150^o

B. 90^o

C. 120^o

D. 210^o

Hướng dẫn giải

Đáp án A

Xét ΔABC , ta có:

Vì  là góc nội tiếp chắn  nên:

Câu 6 : Hãy tính số đo góc BDC trong hình.

A. 20^o

B. 30^o

C. 60^o

D. 70^o

Hướng dẫn giải

Đáp án A

Ta có  là góc nội tiếp chắn 

Và  là góc nội tiếp chắn 

⇒  (hai góc nội tiếp cùng chắn  )

Ta lại có:  là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

⇒ .

Mà 

Vậy  .