Cách tính diện tích hình tròn, hình quạt tròn cực hay, chi tiết

A. Phương pháp giải

Áp dụng các công thức:

+ Công thức tính diện tích hình tròn: S = πR²

+ Công thức tính diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung n^o :  hay  .

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC cân đỉnh A, có  và nội tiếp (O;R). Đường tròn (I) vừa tiếp xúc với hai cạnh của  vừa tiếp xúc trong với (O). Tính diện tích của (I) theo R.

Hướng dẫn giải

Gọi bán kính của (I) là r ⇒ ID = IM = IN = r.

Ta có (O) và (I) tiếp xúc trong nên: OI = R – r

Ta lại có:  ( góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn  ).

Mà (I) tiếp xúc với OB, OC nên I thuộc tia phân giác 

Xét ΔOMI vuông tại M, có:

Diện tích đường tròn tâm I là:  .

Ví dụ 2 : Một chiếc bánh pizza hình tròn có đường kính 40cm. An gọi chủ quán và muốn ăn một miếng bánh có diện tích là 100π (cm²) . Bác đầu bếp bối rối không biết nên cắt thế nào cho đúng. Hãy giúp bác đầu bếp thực hiện yêu cầu của An.

Hướng dẫn giải

Để xác định nên cắt cái bánh như thế nào, ta sẽ xác định nên cắt cái bánh một góc bao nhiêu độ từ tâm của cái bánh.

Chiếc bánh pizza hình tròn có đường kính d = 40cm

Miếng bánh cần cắt có dạng hình quạt, gọi góc ở tâm của hình quạt đó là , ta có:

 .

Vậy bác đầu bếp cần miếng bánh từ tâm tạo thành một góc thì sẽ được miếng bánh theo yêu cầu.

Ví dụ 3 : Cho hình vẽ bên, ACB là một cung của đường tròn. CD là đoạn thẳng trung trực của dây AB. Biết rằng AB = 6cm, CD = 9cm. Hãy tính diện tích của hình tròn.

Hướng dẫn giải

Gọi bán kính của (O) là R, khi đó:

OA = OB = OC = R

Ta có: OC + OD = CD ⇔ R + OD = 9 OD = 9 – R (cm)

Do CD ⇒ AB, nên D là trung điểm của AB 

Xét ΔODA vuông tại D, ta có: OA² = OD² + AD² (định lý Py – ta – go)

Diện tích hình tròn là:  .

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1 : Cho đường tròn tâm O. Biết diện tích hình quạt tròn cung 30^o là 3π (cm²) . Tính bán kính đường tròn?

A. 6cm

B. 5cm

C. 3cm

D. 9cm

Hướng dẫn giải

Đáp án A

Diện tích hình quạt tròn cung 30^o là: 

Vậy bán kính đường tròn là: 6cm.

Câu 2 : Cho đường tròn tâm O có chu vi là 4π. Tính diện tích hình tròn?

A. 2π

B. 4π

C. 6π

D. 8π

Hướng dẫn giải

Đáp án B

Chu vi đường tròn tâm O: C = 2πR = 4π ⇔ R = 2

Khi đó diện tích hình tròn tâm O là: S = πR² = π.2² = 4π .

Vậy diện tích hình tròn tâm O là 4π .

Câu 3 : Biết rằng độ dài cung tròn có số đo 60^o là π . Tính diện tích hình quạt tròn có số đo 30^o

Hướng dẫn giải

Đáp án D

Độ dài cung tròn có số đo 60^o là:  .

Diện tích hình quạt có số đo 30^o là:  .

Câu 4 : Một con bò bị nhốt ở trong một cái chuồng hình vuông có cạnh là 5m. Nhưng trong chuồng còn có nuôi thêm gà. Nên bác nông dân phải buộc con bò vào cột ở góc tường bằng sợi dây thừng dài 1,5m. Hỏi con bò có thể di chuyển trong mảnh đất có diện tích là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Mảnh đất mà con bò có thể di chuyển là một hình quạt tròn bán kính 1,5 m và góc ở tâm là 90^o .

Khi đó, diện tích mảnh đất đó là: 

Câu 5 : Nếu bán kính đường tròn giảm 3 lần thì :

A. Chu vi giảm 9 lần

B. Diện tích giảm 9 lần.

C. Chu vi tăng 3 lần

D. Diện tích giảm 3 lần

Hướng dẫn giải

Đáp án B

Gọi bán kính ban đầu của đường tròn là: R

Chu vi đường tròn ban đầu là: 

Diện tích đường tròn ban đầu là: 

Bán kính mới của đường tròn giảm 3 lần là: 

Chu vi đường tròn ban đầu là: 

Diện tích đường tròn ban đầu là: 

Khi đó ta có:

+  , nghĩa là diện tích giảm 9 lần.

+  , nghĩa là chu vi giảm 3 lần.

Câu 6 : Biết diện tích hình tròn là 16π. Tính chu vi của đường tròn?

A. 4π

B. 16π

C. 8π

D. 12π

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Diện tích hình tròn đã cho là: S = πR² = 16π ⇔ R² = 16 ⇔ R = 4

Chu vi của đường tròn là: C = 2πR = 2.π.4 = 8π .

Câu 7 : Một hình tròn có diện tích S = 144π (cm²) . Bán kính của hình tròn đó là:

A. 15 (cm)

B. 16 (cm)

C. 12 (cm)

D. 14 (cm)

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Gọi bán kính của hình tròn đó là R.

Khi đó diện tích của hình tròn là:

Mà S = 144π

⇔ πR² = 144π

⇔ R² = 144

⇔ R = 12 (cm)

Câu 8 : Diện tích hình tròn bán kính R = 10 cm là

A. 100π (cm²)

B. 10π (cm²)

C. 20π (cm²)

D. 100π² (cm²)

Hướng dẫn giải

Đáp án A

Diện tích hình tròn cần tìm là: S = π.10² = 100π (cm²) .

Câu 9 : Cho đường tròn (O, 10 cm) , đường kính AB. Điểm M ∈ (O) sao cho  . Tính diện tích hình quạt AOM.

A. 5π (cm²)

B. 25π (cm²)

C. 50π (cm²)

D. 25/2π (cm²)

Hướng dẫn giải

Đáp án B

Ta có:  ( góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung  )

Diện tích hình quạt AOM là:  (cm²)

Câu 10 : Biết diện tích hình quạt cung n^o là 120 . Tính diện tích hình quạt của cung 2n^o?

A. 240

B. 120

C. 480

D. 360

Hướng dẫn giải

Đáp án A

Diện tích hình quạt cung n^o là: 

Diện tích hình quạt cung n^o là: 

 .