Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện

A. Phương pháp giải

Cho phương trình: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

1. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho x₁ = px₂ (với p là một số thực)

B1- Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt .

B2- Áp dụng định lý Vi - ét tìm:

B3- Kết hợp (1) và (3) giải hệ phương trình: 

B4- Thay x₁ và x₂ vào (2) ⇒ Tìm giá trị tham số.

2. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện: |x₁ - x₂| = k(k ∈ R)

- Bình phương trình hai vế: (x₁ - x₂)² = k² ⇔ ... ⇔ (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ = k²

- Áp dụng định lý Vi-ét tính x₁ + x₂ và x₁x₂ thay vào biểu thức ⇒ kết luận.

3. So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số bất kỳ:

B1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (∆ ≥ 0)

B2: Áp dụng Vi-ét tính x₁ + x₂ và x₁x₂  (*)

+/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm > α

Ta có: . Thay biểu thức Vi-ét vào hệ(*) để tìm m

+/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm < α

Ta có:   (*).Thay biểu thức Vi-ét vào hệ(*) để tìm m

+/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm: x₁ < α < x₂

Ta có: (x₁ - α)(x₂ - α) < 0 (*). Thay biểu thức Vi-ét vào (*) để tìm m

Ví dụ 1: Cho phương trình x² - 2(m - 1)x + 2m - 5 = 0 (m là tham số).

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn x₁ < 1 < x₂

Giải

a) Ta có: Δ = [-2(m - 1)]² - 4.1.(2m - 5) = 4m² - 12m + 22

= (2m)² - 2.2m.3 + 9 + 13 = (2m-3)² + 13 > 0 (luôn đúng với mọi m)

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 

Ta có: x₁ < 1 < x₂ ⇒  ⇒(x₁ - 1)(x₂ - 1) < 0⇒x₁ x₂ - (x₁+x₂)+1 < 0 (II)

Thay (I) vào (II) ta có: (2m - 5) - (2m - 2) + 1 < 0 ⇔ 0.m - 2 < 0 (đúng với mọi m).

Vậy với mọi m thì phương trình trên có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn x₁ < 1 < x₂

Ví dụ 2: Cho phương trình: x² - (2m - 1)x + m² - 1 = 0 (x là ẩn số)

a) Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

b) Định m để hai nghiệm x₁, x₂ của phương trình đã cho thỏa mãn (x₁ - x₂)² = x₁ - 3x₂

Giải

a) Δ = (2m - 1)² - 4.(m² - 1)= 4m² - 4m + 1 - 4m² + 4 = 5- 4m

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Δ > 0 ⇔ 5 - 4m > 0 ⇔ m < 

b) Phương trình có hai nghiệm ⇔ m ≤ 

Kết hợp với điều kiện  (thỏa mãn) là các giá trị cần tìm.

Vậy với m = 1 hoặc m = - 1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn (x₁ - x₂)² = x₁ - 3x₂.

Ví dụ 3: Cho phương trình x² - 10mx + 9m = 0 (m là tham số)

a) Giải phương trình đã cho với m = 1.

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa điều kiện x₁ - 9x₂ = 0.

Giải

a) Với m = 1 phương trình đã cho trở thành x² - 10x + 9 = 0.

Ta có: a + b + c = 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là 

b) Δ' = (-5m)² - 1.9m = 25m² - 9m

Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là Δ' > 0 ⇔ 25m² - 9m > 0

Theo hệ thức Vi-ét ta có 

Từ (*) và giả thiết  ta có hệ phương trình:

Thay vào phương trình (**) ta có:

Với m = 0 ta có Δ' = 25m² - 9m = 0 không thỏa mãn điều kiện phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Với m = 1 ta có Δ' = 25m² - 9m = 16 > 0 thỏa mãn điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Kết luận: Vậy với m = 1thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa điều kiện x₁-9x₂ = 0

B. Bài tập

Câu 1: Cho phương trình x² - 2(m + 1)x + m² + m - 1 = 0 (m là tham số)

Gọi S là tập tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện . Tính tích của các giá trị đó

Giải

Δ' = (m + 1)² - (m² + m - 1) = m² + 2m + 1 - m² - m + 1 = m + 2

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ' > 0 ⇔ m + 2 > 0 ⇔ m > -2

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: 

Do đó:

Kết hợp với điều kiện m > -2  là các giá trị cần tìm.

Đáp án đúng là C

Câu 2: Cho phương trình bậc hai x² + 2(m - 1)x - (m + 1)= 0

Tìm giá trị m để phương trình có một nghiệm lớn hơn  và một nghiệm nhỏ hơn 1.

Giải

Ta có: 

Suy ra phương trình luôn có hai  nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m.

Theo hệ thức Vi- ét ta có: 

Để phương trình có một nghiệm lớn hơn , một nghiệm nhỏ hơn 1 thì (x₁ - 1)(x₂ - 1) < 0

Đáp án đúng là C

Câu 3: Cho phương trình bậc hai: x² + 2(m - 1)x - (m + 1) = 0

Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm lớn hơn 2

A. m > - 1

B. m > 2

C. m < 2

D. m < 0

Giải

Ta có: 

Suy ra phương trình luôn có hai  nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m.

Theo hệ thức Vi- ét ta có: 

Để phương trình có hai nghiệm đều nhỏ hơn 2 thì:

Vậy đáp án đúng là D

Câu 4: Cho phương trình x² - (2m + 3)x + m² + 3m + 2 = 0

Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn -3 < x₁ < x₂ < 6

A. m > 1

B. -2 < m < 2

C. -4 < m < 4

D. m < 3

Giải

Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Theo hệ thức Vi-et ta có: 

Vì -3 < x₁ < x₂ < 6 nên

Vậy -4 < m < 4.

Đáp án đúng là C

Câu 5: Cho phương trình  (m là tham số).  Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn 

Giải

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì ∆ ≥ 0

Phương trình có nghiệm khác 0 

Kết hợp với điều kiện  ta có

Vậy  là các giá trị cần tìm.

Đáp án đúng là B

Câu 6: Cho phương trình   (m là tham số).

Tìm m để phương trình có hai nghiệm là số đo của 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3.

A. m = ±2

B. m = ±√2

C. m = - 1

D. m = 0

Giải

Ta có: , luôn đúng với mọi m

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m.

Giả sử phương trình có hai nghiệm là x₁, x₂.

Áp dụng Vi-et ta có: 

Theo đề bài x₁, x₂ là số đo của 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3 nên ta có:

Vậy m = ±2  là các giá trị cần tìm.

Đáp án đúng là A

Câu 7: Cho phương trình x² - 2x - 2m² = 0 với x là ẩn số.

Tìm giá trị của m để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức x₁² = 4x₂².

A. m = ±2

B. m = ±1

C. m = -6

D. m = 3

Giải

Ta có: Δ' = (-1)² - (-2m² )= 1 + 2m² > 0

Suy ra phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

Giả sử phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ theo hệ thức Vi-ét:

Vậy m = ±2 là giá trị cần tìm.

Đáp án đúng là A

Câu 8: Cho phương trình x² - (2m + 2)x + 2m = 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn 

A. m = 0

B. m = 1

C. m = 3

D. m = 4

Giải

Phương trình x² - (2m + 2)x + 2m = 0 ⇔ x² - 2(m + 1)x + 2m = 0

Điều kiện PT có 2 nghiệm không âm x₁, x₂ là

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.

Đáp án đúng là A

Câu 9: Cho phương trình x² + 2x - m² - 1 = 0 (m là tham số)

Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa mãn x₁ = -3x₂

A. m = 3

B. m = ±1

C. m = ±√2

D. m = -2

Giải

Ta có: Δ' = 1² - 1.(-m² - 1)=1 + m² + 1 = m² + 2 > 0 (luôn đúng với mọi m)

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Theo Vi-ét ta có: 

Ta có: x₁ + x₂ = -2 (do trên) và x₁ = -3x₂ nên có hệ phương trình sau:

Thay (*) vào biểu thức x₁.x₂ = -m² - 1 ta được:

Vậy m = ±√2 là các giá trị cần tìm.

Đáp án đúng là C

Câu 10: Cho phương trình x² – 5x + m = 0 (m là tham số).

Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn |x₁ - x₂| = 3.

A. m = 2

B. m = 4

C. m = 6

D. m = 8

Giải

Ta có: ∆ = 25 – 4m

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ thì 

Theo Vi-ét, ta có: x₁ + x₂  = 5 (1) và x₁.x₂ = m (3)

Mặt khác theo giả thiết ta có: |x₁ - x₂| = 3 (2)

Giải hệ (1) và (2):

Với x₁ = 4, x₂ = 1 thay vào (3) ta được m = 4

Với x₁ = 1, x₂ = 4 thay vào (3) ta được m = 4

m = 4 thỏa mãn điều kiện (*) , vậy m = 4 là giá trị cần tìm

Đáp án đúng là B