Cách tính độ dài đường tròn, cung tròn cực hay, chi tiết

A. Phương pháp giải

Sử dụng các công thức sau để tính độ dài đường tròn và cung tròn:

+ Độ dài đường tròn: C = 2πR hoặc C = πd

Trong đó: C là độ dài đường tròn.

R là bán kính đường tròn.

d là đường kính của đường tròn

+ Độ dài cung tròn n^o là: 

Trong đó: l là độ dài cung tròn n^o.

R là bán kính đường tròn.

n là số đo độ của góc ở tâm.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB, vẽ dây CD vuông góc với AB tại M. Cho biết  .

a) Tính độ dài đường tròn

b) Tính độ dài cung 

Hướng dẫn giải

a) Gọi bán kính đường tròn tâm O là R

Ta có: OM + AM = OA

⇒ OM = R - 1 (cm)

Vì đường kính AB vuông góc với dây CD tại M nên M là trung điểm của CD

Xét ΔOMC vuông tại M, ta có: OC² = CM² + OM² ( định lý Py – ta – go)

Độ dài đường tròn là: 

b) Xét ΔOMC vuông tại M, ta có: 

Vì 

Độ dài cung CD là:  (cm).

Ví dụ 2:

a) Tính độ dài cung 60^o của một đường tròn có bán kính 2dm.

b) Tính chu vi vành xe đạp có đường kính 650mm.

Hướng dẫn giải

a) Độ dài cung 60^o của đường tròn bán kính 2dm là:

 .

b) Chu vi vành xe đạp có đường kính 650mm là:

C = π.d = 650π ≈ 2042 mm.

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC , cạnh AB = 4cm, góc  . Đường tròn tâm O đường kính AB cắt BC ở D.

a) Chứng minh AD vuông góc với BC

b) Chứng minh rằng đường tròn đường kính AC ( tâm O’) đi qua D.

c) Tính độ dài cung nhỏ BD.

Hướng dẫn giải

a) Vì  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ AD ⊥ BC

b) Vì AD ⊥ BC ⇒ 

⇒ D thuộc đường tròn đường kính AC

Hay đường tròn đường kính AC ( tâm O’) đi qua D.

c) Xét ΔOBD có OB = OD = R và 

⇒ ΔOBD đều

⇒ 

Ta có: O là trung điểm của AB

⇒  (cm ) hay R = 2cm

Độ dài cung nhỏ BD là:  (cm).

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1 : Tính độ dài cung 30^o của một đường tròn có bán kính 4 dm

Hướng dẫn giải

Đáp án D

Độ dài cung 30^o của đường tròn có bán kính 4dm là:  .

Câu 2 : Máy cày có hai bánh xe sau lớn hơn hai bánh xe trước. Biết khi bơm căng, bánh xe trước có đường kính 0,8m, bánh xe sau có đường kính 1,5m. Hỏi bánh xe sau lăn được 16 vòng thì bánh xe trước lăn được mấy vòng?

A. 20

B. 30

C. 40

D. 50

Hướng dẫn giải

Đáp án B

Bánh xe lăn được một vòng nghĩa là nó đã đi một độ dài chu vi của bánh xe.

Chu vi bánh xe trước là: C₁ = πd = 0,8π (m)

Chu vi bánh xe sau là: C₂ = πd = 1,5π (m)

Bánh xe sau lăn được 16 vòng nghĩa là nó đã đi được s = 1,5π.16 = 24π (m)

Khi đó bánh xe trước sẽ lăn được số vòng là:  (vòng).

Câu 3 : Biết độ dài cung 60^o là 6π. Tính độ dài cung tròn có số đo 100^o.

A. 6π

B. 8π

C. 10π

D. 10,5π

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Độ dài cung 60^o là: 

 .

Độ dài cung tròn có số đo 100^o là:  .

Câu 4 : Cho tam giác ABC có AB = 8cm; AC = 6cm và BC = 10cm. Tính chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?

A. 8π (cm)

B. 10π (cm)

C. 6π (cm)

D. 12π (cm)

Hướng dẫn giải

Đáp án B

Xét ΔABC , ta có:

BC² = 10² = 100

AB² + AC² = 8² + 6² = 100

⇒ AB² + AC² = BC²

Theo định lý Py – ta – go đảo, suy ra: ΔABC vuông tại A

⇒ ΔABC nội tiếp đường tròn đường kính BC

⇒  .

Chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: C = 2.π.5 = 10π (cm).

Câu 5 : Cho đường tròn tâm O có chu vi 30π cm. Tính độ dài cung có số đo 90^o?

A. 9π

B. 4,5π

C. 7,5π

D. 15π

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Ta có: Chu vi đường tròn tâm O: C = 2πR = 30π

Khi đó, độ dài cung có số đo 90^o là:  .

Câu 6 : Cho hai đường tròn có bán kính lần lượt là R = 1km và r = 1m. Nếu độ dài của mỗi đường tròn ấy đều tăng thêm 1m thì bán kính của mỗi đường tròn tăng thêm bao nhiêu?

A. 

B. 1

C. π

D. 2

Hướng dẫn giải

Đáp án A

Gọi phần bán kính tăng thêm của đường tròn bán kính R là a, phần tăng thêm của đường tròn bán kính r là b. Nếu độ dài mỗi đường tròn tăng thêm 1m, ta có:

Câu 7 : Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là 10 cm . Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp hình vuông. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB; BC. Tính độ dài của cung  ?

A. 2π (cm)

B. 5π (cm)

C. 2,5π (cm)

D. 7,5π (cm)

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Do O là tâm đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD nên bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông là:  .

Ta có 

Do đó, độ dài của  là:  .

Câu 8 : Xích Đạo là một đường tròn lớn của Trái Đất có độ dài khoảng 40000km. Hãy tính bán kính của Trái Đất.

A. 6366,2

B. 6366,02

C. 6400

D. 12732,4

Hướng dẫn giải

Đáp án A

Áp dụng công thức tính độ dài đường tròn, ta có:

C = 2πR ⇒ 40000 = 2πR ⇒ R ≈ 6366,2 (km).

Câu 9 : Cho cân tại C, có  , AC = 10cm. Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp ΔABC .

A. 10

B. 10π

C. 20

D. 20π

Hướng dẫn giải

Đáp án D

/p>

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Ta có AC = BC nên C là điểm chính giữa cung AB

⇒ CO là phân giác của 

⇒ 

Xét ΔOAC , có: OA = OC và 

⇒ ΔOAC đều

⇒ OA = OC = AC = 10cm

Khi đó độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: 2π.10 = 20π (cm) .

Câu 10 : Số đo n^o của cung tròn có độ dài 30,8 cm trên đường tròn có bán kính 22 cm là (lấy π ≅ 3,14 và làm tròn đên độ)

A. 70^o

B. 80^o

C. 65^o

D. 85^o

Hướng dẫn giải

Đáp án B

Áp dụng công thức tính độ dài cung tròn  , ta được:

 .

Vậy bán kính mỗi đường tròn đều tăng thêm  m.