Cách giải và biện luận phương trình chứa ẩn ở mẫu cực hay

A. Phương pháp giải

+ B1: Đặt điều kiện cho phương trình

+ B2: Biến đổi phương trình về dạng đã biết cách giải, sau đó giải và biện luận phương trình đó

+ B3: Kết luận

Ví dụ: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m

Giải

a. ĐK: x ≠ 2

Phương trình (1) ⇒ (2m – 1)x + 2 = (m + 1)(x – 2)

⇔ 2mx – x + 2 = mx + x – 2m - 2

⇔  mx + x – 2m - 2 – 2mx + x – 2 = 0

⇔ 2x – mx – 2m – 4 = 0

⇔ (2 – m)x - 2m – 4 = 0 (2)

Xét TH1:  2 – m = 0 ⇔ m = 2 thì phương trình (2) có dạng  -8 = 0 (vô nghiệm)

⇒ phương trình (1) vô nghiệm

Xét TH2:  2 – m ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 thì phương trình (2) có một nghiệm x = 

+ Nếu  x =  = 2 ⇒ 2m + 4 = 4 – 2m ⇔ m = 0 thì x =   không là nghiệm của phương trình (1), do đó phương trình (1) vô nghiệm

+ Nếu  x =  ≠ 2 ⇔ 2m + 4 ≠ 4 – 2m ⇔ m ≠ 0 thì x =  là nghiệm của phương trình (1)

Kết luận: Nếu m = 2 hoặc m = 0 thì phương trình (1) vô nghiệm

Nếu m ≠ 2 và m ≠ 0 thì phương trình (1) có 1 nghiệm x = 

b. ĐK: x ≠ 3m

Phương trình (2) ⇒ (x + 1)(mx + 2) = 0 (3)

Xét TH1:  m = 0 thì phương trình (*) có dạng  2 = 0 (vô nghiệm)

⇒ phương trình (3) có 1 nghiệm x = -1 thỏa mãn điều kiện x ≠ 3m = 0

Vậy phương trình (2) có 1 nghiệm x = -1

Xét TH2:   m ≠ 0 thì phương trình (*) có một nghiệm x =  , nghiệm này luôn thỏa mãn điều kiện x ≠ 3m (với mọi m ≠ 0)

+ Nếu  x = -1 = 3m ⇔ m =   thì x = -1 không là nghiệm của phương trình (2), do đó phương trình (2) có 1 nghiệm 

+ Nếu x = -1 ≠ 3m ⇔ m ≠   thì x = -1 là nghiệm của phương trình (2)

+ Nếu -1 =  ⇒ m = 2 thì phương trình (3) có 1 nghiệm x = -1 thỏa mãn điều kiện x ≠ 3m = 6

Kết luận: Nếu m = 2 hoặc m = 0 thì phương trình (2) có 1 nghiệm x = -2

Nếu m =  thì phương trình (2) có 1 nghiệm x = 6

Nếu m ≠ 2, m ≠  và m ≠ 0 thì phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt x = , x = -1

B. Bài tập

Câu 1: Tìm m để phương trình  có 1 nghiệm

Giải

ĐK: x ≠ m

Phương trình (1)⇒ (3m - 2)x - 5 = -3(x - m)

⇔  3mx - 2x - 5 =  –3x +3m

⇔   –3x + 3m – 3mx + 2x + 5 = 0

⇔  -x  – 3mx + 3m + 5 = 0

⇔ x(1+3m)-3m-5=0(2)

Phương trình (1) có 1 nghiệm khi phương trình (2) có 1 nghiệm thoả mãn điều kiện x ≠ m  

Vậy với  thì phương trình (1) có 1 nghiệm

Đáp án D

Câu 2: Tìm a, b để phương trình  có 2 nghiệm phân biệt

A. a ≠ 0, b ≠ 1, a ≠ b

B. a = 0, b = 1

C. a ≠ 0, b ≠ 0, a ≠ ±b

D. không tồn tại a và b

Giải

ĐK: x ≠ a, x ≠ b

Phương trình (1) ⇒ a(x - a) + b(x – b) = 2(x – a)(x – b)

⇔ ax – a² + bx – b² = 2x² – 2bx – 2ax + 2ab

⇔  2x² – 2bx – 2ax + 2ab - ax - bx + a² + b² = 0

⇔  2x² – 3bx – 3ax + 2ab + a² + b² = 0

⇔  2x² – 3(a + b)x + (a + b)²  = 0 (2)

Đặt f(x) = 2x² – 3(a + b)x + (a + b)²

Phương trình (2) có: Δ=9(a+b)²-8(a+b)²=(a+b)²

Phương trình (1) có 2 nghiệm khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện x ≠ a, x ≠ b  

Vậy với a ≠ 0, b ≠ 0, a ≠ ±b thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

Đáp án C

Câu 3: Tìm m để phương trình  có 1 nghiệm

A. m ≠ 0, m = -2

B. m = -1, m = 5

C. m ≠ 5, m ≠ -1

D. m = -5, m = 1

Giải

ĐK: x ≠ -1

Phương trình (1) ⇒ (m – 2)x + 3 = (2m – 1)(x + 1)

⇔  mx – 2x + 3 = 2mx + 2m – x - 1

⇔  2mx + 2m – x – 1- mx + 2x – 3 = 0

⇔ mx + x + 2m – 4 = 0

⇔ (m + 1)x +2m – 4 = 0 (2)

Phương trình (1) có 1 nghiệm khi phương trình (2) có 1 nghiệm thỏa mãn điều kiện x ≠ -1  

Vậy với m ≠ -1 hoặc m ≠ 5 thì phương trình (1) có 1 nghiệm

Đáp án C

Câu 4: Tìm m để phương trình  có 2 nghiệm phân biệt

A. m ≠ -3 và  m ≠ -2

B. m ≠ -2, m ≠ 3

C. m ≠ 2, m ≠ 3

D. m ≠ 2, m ≠ -3

Giải

ĐK: x ≠ 1

Phương trình (1) ⇒ (2m + 2)x - m = (x + m)(x - 1)

⇔  2mx + 2x - m = x² – x + mx - m

⇔  x² – x + mx – m – 2mx – 2x + m = 0

⇔  x² – 3x  – mx = 0

Phương trình (1) có 2 nghiệm khi x = 0, x = m + 3 phân biệt và cùng thoả mãn điều kiện x ≠ 1 

Vậy với m ≠ -2 và m ≠ -3 thì phương trình (1) có 2 nghiệm

Đáp án A

Câu 5: Tìm m để phương trình  vô nghiệm

A. m = 0, m = -1

B. m = -3, m = 0

C. m = 2, m = -1

D. m = -2, m = 1

Giải

ĐK: x ≠ ±1

Phương trình (1) ⇒ (x – m)(x + 1) + (x – 2)(x – 1) = 2(x – 1)(x + 1)

⇔ x² + x – mx – m + x² – x – 2x + 2 =2(x²  - 1)

⇔ 2x² – 2x – mx + 2 – m – 2x² + 2 = 0

⇔ -(m + 2)x + 4 – m = 0

⇔ (m + 2)x + m – 4 = 0 (2)

Phương trình (1) vô nghiệm khi phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm nhưng không thỏa mãn điều kiện x ≠ ±1

Xét TH1: Phương trình (2) vô nghiệm 

Xét TH2: Phương trình (2) có 1 nghiệm 

Vậy với m = 1 hoặc m = -2 thì phương trình (1) vô nghiệm

Đáp án D

Câu 6: Tìm m để phương trình  có nghiệm duy nhất

A. m ≠ 0, m ≠ 1, m ≠ -2

B. m = 3, m = 1

C. m ≠ 0, m ≠ 1, m ≠ 2

D. không tồn tại m

Giải

ĐK: x ≠ 1, x ≠ m

Phương trình (1)⇒ (x – m)(x + 1) = (x + 2)(x – 1)

⇔ x² + x – mx – m = x² – x + 2x - 2

⇔  x² + x – mx – m - x² + x - 2x + 2 = 0

⇔ -mx + 2 – m = 0 (2)

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi phương trình (2) có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x ≠ 1, x ≠ m

Vậy với m ≠ 0, m ≠ 1, m ≠ -2 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất

Đáp án A