Giải bài toán bằng cách lập phương trình – Dạng toán về quan hệ giữa các số, tìm số tự nhiên

A. Phương pháp giải

B1: Lập phương trình

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn

- Biểu diễn các dữ kiện chưa biết qua ẩn số

- Lập phương trình biểu thị tương quan giữa ẩn số và các dữ kiện đã biết

B2: Giải phương trình

B3: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện của ẩn số nếu có và đưa ra kết luận

Ví dụ 1: Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm số bé hơn

Giải

Gọi số tự nhiên bé là x (x ∈ N*)

⇒   số tự nhiên lớn là x + 1

Vì tích của hai số lớn hơn tổng của chúng là 109 nên ta có phương trình

Ta thấy x = 11 thỏa mãn nên nhận

Ta thấy x = -10 không thỏa mãn nên loại

Vậy số phải tìm là 11

Ví dụ 2: Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 5 và tổng các bình phương hai chữ số của nó bằng 13

Giải

Gọi chữ số hàng chục của số tự nhiên có hai chữ số là x (0 < x ≤ 5)

⇒  chữ số hàng đơn vị là 5 – x

Vì tổng các bình phương hai chữ số của nó bằng 13 nên ta có phương trình

Với x = 2 thì chữ số hàng chục bằng 2 và chữ số hàng đơn vị bằng 3. Do đó số phải tìm là 23

Với x = 3 thì chữ số hàng chục bằng 3 và chữ số hàng đơn vị bằng 2. Do đó số phải tìm là 32

Vậy có 2 số tự nhiên thỏa mãn đề bài là 23 và 32

B. Bài tập

Câu 1: Tìm hai số biết tổng của hai số bằng 51 và  số thứ hai

Giải

Gọi số thứ nhất là x thì số thứ hai là 51 – x

Vì  số thứ hai nên ta có phương trình

Vậy số thứ nhất là 

Đáp án đúng là C

Câu 2: Tìm hai số chẵn nguyên dương liên tiếp biết tổng bình phương của hai số là 244

A. 16 và 18         

B. 14 và 16        

C. 12và 14

D. 10 và 12

Giải

Gọi số thứ nhất là x (x ∈ N*, x ⋮ 2)

⇒ Số thứ hai là x + 2

Vì tổng bình phương của hai số là 244 nên ta có phương trình

Với x = 10 (thỏa mãn điều kiện) do đó số thứ nhất là 10 và số thứ hai là 12

Với x = -12 (không thỏa mãn điều kiện) nên loại

Vậy đáp án đúng là D

Câu 3: Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị nhỏ hơn chữ số hàng chục là 2 và tích của hai chữ số đó của nó luôn lớn hơn tổng hai chữ số của nó là 34

A. 86            

B. 97            

C. 75

D. 64

Giải

Gọi chữ số hàng chục là x (2 ≤ x ≤ 9, x ∈ N)

Chữ số hàng đơn vị là:  x – 2

Tích của hai chữ số là: x(x – 2) = x² – 2x

Tổng của hai chữ số là: x + x – 2 = 2x – 2

Vì tích của hai chữ số đó của nó luôn lớn hơn tổng hai chữ số của nó là 34 nên ta có phương trình:

Ta thấy x = -4 không thỏa mãn điều kiện (loại)

Ta thấy x = 8 thỏa mãn điều kiện (nhận)

Vậy chữ số hàng chục là 8, chữ số hàng đơn vị là 6

Số phải tìm là 86

Đáp án A

Câu 4: Tìm hai số biết rằng tổng của hai số đó bằng 17. Nếu số thứ nhất tăng thêm 3 đơn vị, số thứ hai tăng thêm 2 đơn vị thì tích của hai số đó bằng 105

A. 11 và 6 hoặc 3 và 14              

B. 12 và 5 hoặc 4 và 13

C. 10 và 7 hoặc 2 và 15

D. 9 và 8 hoặc 1 và 16

Giải

Gọi số thứ nhất là x

Số thứ hai là 17 – x

Số thứ nhất tăng thêm 3 đơn vị thì được số mới là: x + 3

Số thứ hai tăng thêm 2 đơn vị thì được số mới là: 17 - x + 2 = 19 – x

Vì tích của hai số đó bằng 105 nên ta có phương trình

Với x = 12 ta có số thứ nhất là 12 và số thứ hai là 5

Với x = 4 ta có số thứ nhất là 4 và số thứ hai là 13

Đáp án là B

Câu 5: Tìm 2 số biết tổng của hai số đó bằng 19 và tổng bình phương của hai số đó bằng 185

A. 16 và 3        

B. 11 và 8            

C. 5 và 14

D. 10 và 9

Giải

Gọi số thứ nhất là x thì số thứ hai là 19 – x

Vì tổng bình phương của hai số đó bằng 185 nên ta có phương trình:

Vậy hai số phải tìm là 11 và 8

Đáp án là B

Câu 6: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 17 và tổng lập phương của chúng bằng 1241

A. 10 và 7        

B. 11 và 6            

C. 5 và 12

D. 8 và 9

Giải

Gọi số thứ nhất là x thì số thứ hai là 17 – x

Vì tổng lập phương của hai số đó bằng 1241 nên ta có phương trình

Vậy hai số phải tìm là 9 và 8

Đáp án là D

Câu 7: Tìm hai số tự nhiên biết số lớn hơn số bé 3 đơn vị và tổng các bình phương của chúng bằng 369

A. 12 và 15

B. 11 và 14

C. 10 và 13

D. 13 và 16

Giải

Gọi số tự nhiên bé là x (x ∈ N*)

⇒ số tự nhiên lớn là x + 3

Vì tổng các bình phương của chúng bằng 369 nên ta có phương trình

Ta thấy x = 12 thỏa mãn nên nhận ⇒  số tự nhiên bé là 12 và số lớn là 15

Ta thấy x = -15 không thỏa mãn nên loại

Vậy hai số phải tìm là 12 và 15

Đáp án là A

Câu 8: Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó

Giải

Gọi tử số là x thì mẫu số là x + 11 (x ≠ -11)

⇒ Phân số phải tìm là 

Bớt tử số 7 đơn vị, tăng mẫu lên 4 đơn vị ta được phân số mới là 

Vì phân số mới bằng nghịch đảo của phân số ban đầu nên ta có:

Vậy tử số bằng -5 thì mẫu số bằng -5 + 11 = 6

⇒ Phân số phải tìm là 

Đáp án là C