Cách làm bài toán parabol cắt đường thẳng thỏa mãn điều kiện về vị trí giao điểm cực hay, có đáp án

A. Phương pháp giải

Cho parabol (P): y = ax² (a ≠ 0) và đường thẳng y = mx + n.

Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng.

ax² = mx + n ⇔ ax² - mx - n = 0 (*)

Bước 2: Xét điều kiện để parabol có điểm chung với đường thẳng:

- TH1: Parabol tiếp xúc với đường thẳng (có 1 điểm chung) ⇒ phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép (Δ = 0 hoặc Δ' = 0).

- TH2: Parabol cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt (có 2 điểm chung phân biệt) ⇒ phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt (Δ > 0 hoặc Δ' > 0).

Bước 3:Xét điều kiện về vị trí giao điểm:

+) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm phía trên trục hoành ⇒ a > 0.

+) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm phía dưới trục hoành ⇒ a < 0.

+) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm cùng phía so với trục tung ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm cùng dấu  hay a.n < 0.

+) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm cùng nằm phía bên phải trục tung ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm dương 

+) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm cùng nằm phía bên trái trục tung ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm âm 

+) Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía trục tung ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm trái dấu  hay a.n > 0

+) Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm thỏa mãn điều kiện khác: Sử dụng hệ thức Vi-ét, kết hợp biến đổi biểu thức.

Bước 4: Kết luận.

B. Các ví dụ điển hình

Ví dụ 1: Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = x + m (với m là tham số). Giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ở hai phía so với trục tung là:

Lời giải

Chọn A

Ví dụ 2:Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng (d): y = -x + 2m và parabol (P):  cắt nhau tại hai điểm phân biệt nằm cùng phía so với trục tung.

Lời giải

Chọn A

Ví dụ 3: Đường thẳng nào sau đây cắt đồ thị hàm số y = ax² (a > 0) tại hai điểm khác phía so với trục tung và cách đều trục tung với mọi m?

Lời giải

Chọn B