Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay

A. Phương pháp giải

- Để nhẩm nghiệm của phương trình  ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) ta làm như sau:

+ B1: Tính ∆ = b² – 4ac. Nếu ∆ < 0 thì không tồn tại nghiệm của phương trình. Nếu  ∆ ≥ 0 thì phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂

+ B2: Trong trường hợp ∆ ≥ 0 sử dụng Vi-et ta nhẩm nghiệm như sau:

- Nếu hệ số a = 1 thì phương trình có dạng x² + bx + c = 0(*) ta phân tích hệ số c thành tích của 2 số trước rồi kết hợp với b để tìm ra 2 số thỏa mãn tổng bằng –b và tích bằng c. Hai số tìm được là nghiệm của phương trình x² + bx + c = 0. Tóm lại trong trường hợp này ta có kết quả sau

x² + (u + v)x + uv = 0 ⇒ x₁ = -u, x₂ = -v

x² - (u + v)x + uv = 0 ⇒ x₁ = u, x₂ = v

- Nếu hệ số a ≠ 1 ta chia cả hai vế của phương trình cho a để đưa phương trình về dạng (*) rồi nhẩm nghiệm

- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: 

- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: 

Ví dụ 1: Tính nhẩm nghiệm của phương trình sau

a. 2x² + 3x + 1 = 0

b. 3x² – 2x - 1 = 0

Giải

a. Phương trình đã cho có: a - b + c = 2 – 3 + 1 = 0

Suy ra các nghiệm của phương trình là: 

b. Phương trình đã cho có: a + b + c = 3 + (-2) + (-1) = 0

Suy ra các nghiệm của phương trình là: 

Ví dụ 2: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau

a. x² – 11x + 30 = 0

b. x² – 12x + 27 = 0

c. x² + 16x + 39 = 0

Giải

a. Phương trình đã cho có ∆ = 11² – 4.30 = 121 – 120 = 1 > 0 nên có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂

Theo Vi-et ta có: 

Ta thấy 30 = 15.2 = (-15).(-2) = 10.3 = (-10).(-3) = 6.5 = (-6).(-5) nhưng ta cần chọn hai số có tổng bằng 11 nên hai số thỏa mãn (*) là 6 và 5

Suy ra các nghiệm của phương trình là: x₁ = 5, x₂ = 6

b. Phương trình đã cho có ∆ = 12² – 4.27 = 144 – 108 = 36 > 0 nên có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂

Theo Vi-et ta có 

Ta thấy 27 = 9.3 = (-9).(-3) = 1.27 = (-1).(-27) nhưng ta cần chọn hai số có tổng bằng 12 nên hai số thỏa mãn (*) là 9 và 3

Suy ra các nghiệm của phương trình là: x₁ = 3, x₂ = 9

c. Phương trình đã cho có ∆ = 16² – 4.39 = 256 – 156 = 100 > 0 nên có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂

Theo Vi-et ta có 

Ta thấy 39 = 13.3 = (-13).(-3) = 1.39 = (-1).(-39) nhưng ta cần chọn hai số có tổng bằng -16 nên hai số thỏa mãn (*) là -13 và -3

Suy ra các nghiệm của phương trình là: x₁ = -13, x₂ = -3

B. Bài tập

Câu 1: Cho phương trình (m – 2)x² – (2m + 5)x + m + 7 = 0 (m ≠ 2), khẳng định nào sau đây đúng

A. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt 

B. Phương trình có 2 nghiệm x = -1, x = m + 3 ∀ m ≠ 2

C. Phương trình có nghiệm kép ∀ m ≠ 2

D. Phương trình vô nghiệm ∀ m ≠ 2

Giải

Với m ≠ 2 thì phương trình đã cho là phương trình bậc 2 có các hệ số:

a = m – 2, b = -(2m + 5), c = m + 7

Suy ra a + b + c = m – 2 – (2m + 5) + m + 7 = 0

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm: 

Đáp án A

Câu 2: Tìm nghiệm của phương trình x² - (m + 4)x + 3m + 3 = 0

A. Phương trình có nghiệm kép x = 2 ∀ m

B. Phương trình có hai nghiệm x = 3, x = m + 1 ∀ m

C. Phương trình có hai nghiệm x = 2, x = m + 2 ∀ m

D. Phương trình vô nghiệm

Giải

⇒ phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Phương trình x² - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 ⇔ x² - [(m + 1) + 3]x + 3(m + 1) = 0

⇒ phương trình có 2 nghiệm: x = 3, x = m + 1

Đáp án B

Câu 3: Biết rằng phương trình x² - (2m + 1)x + m² + m = 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt. Tính tổng bình phương các nghiệm của phương trình theo m

A. 2m² - 2m - 1

B. 2m² + 2m - 1

C. 2m² + 2m + 1

D. 2m² - 2m + 1

Giải

Phương trình x² - (2m + 1)x + m² + m = 0 ⇔ x² - [m + (m + 1)]x + m(m + 1) = 0

⇒ phương trình có 2 nghiệm x = m, x = m + 1

Vậy tổng bình phương các nghiệm của phương trình là:

m² + (m + 1)² = m² + m² + 2m + 1 = 2m² + 2m + 1

Đáp án là C

Câu 4: Một nghiệm của phương trình mx² + (3m – 1)x + 2m - 1 = 0 (m ≠ 0) là

Giải

Với m ≠ 0 thì phương trình đã cho là phương trình bậc 2 có các hệ số:

a = m, b = 3m - 1, c = 2m - 1

Suy ra a - b + c = m – 3m + 1 + 2m - 1 = 0

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm: 

Đáp án C

Câu 5: Số nghiệm của phương trình  7x² - 9x + 2 = 0 là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Giải

Phương trình đã cho có: a + b + c = 7 + (-9) + 2 = 0

Suy ra các nghiệm của phương trình là: 

Đáp án C

Câu 6: Số nào sau đây là nghiệm của phương trình 1975x² + 4x - 1979 = 0

Giải

Phương trình đã cho có: a + b + c = 1975 + 4 + (-1979) = 0

Suy ra các nghiệm của phương trình là: 

Đáp án A

Câu 7: Cho phương trình: (2m – 1)x² + (m - 3)x - 6m - 2 = 0 ()

Biết rằng phương trình đã cho luôn có một nghiệm x = -2, tìm nghiệm còn lại của phương trình theo m

Giải

Vì phương trình đã cho có nghiệm x = -2  nên  ∆ ≥ 0.

Nghĩa là phương trình luôn có 2 nghiệm x₁, x₂ . Không làm mất tính tổng quát, giả sử x₁ = -2

Áp dụng Vi-et ta có: 

Đáp án B

Câu 8: Tìm m để phương trình  x² + 3mx - 108 = 0 có một nghiệm bằng 6. Với giá trị m vừa tìm được tính nghiệm còn lại

A. m = 4 và x = -18

B. m = 3 và x = -16

C. m = 2 và x = -15                     

D. m = 1 và x = -19

Giải

Vì x = 6 là nghiệm của phương trình nên:

Với m = 4 phương trình trở thành: x² + 12x - 108 = 0. Theo Vi-et ta có:

Đáp án A