Cách giải phương trình bậc nhất hai ẩn cực hay, chi tiết

A. Phương pháp giải

- Phương trình bậc nhất 2 ẩn x và y là phương trình có dạng: ax + by = c (1) trong đó a, b, c là các số thực; a và b không đồng thời bằng 0

- Cặp số (x₀ ; y₀) gọi là nghiệm của (1) nếu khi thay x = x₀ và y = y₀ thì (1) đúng

- Phương trình (1) luôn có vô số nghiệm và công thức nghiệm tổng quát là

- Biểu diễn hình học tập nghiệm của (1) trên hệ trục tọa độ là đường thẳng

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3x – 2y = 6

Giải

Khi đó nghiệm nguyên của phương trình là: 

Ví dụ 2: Tìm nghiệm chung của 2 phương trình: x – 2y = 2 (1) và x + 5y = 3 (2)

Giải

Ví dụ 3: Cho phương trình: 3x – 2y = 6 (1). Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình (1)

a. (2;0)

b. (1;1)

Giải

a. Trong phương trình (1) thay x = 2, y = 0 ta được: 3.2 – 2.0 = 6 ⇔ 6 = 6  (đúng)

Vậy cặp số (2;0) là nghiệm của (1)

b. Trong phương trình (1) thay x = 1, y = 1 ta được: 3.1 – 2.1 = 6 ⇔ 1 = 6 (sai)

Vậy cặp số (1;1) không là nghiệm của (1)

Ví dụ 4: Tìm công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn hình học tập nghiệm của các phương trình sau:

a. 2x – 4y = 3

b. 7x + y = 1

c. x - 2y = 5

Giải

a. Ta có:

Công thức nghiệm tổng quát: 

Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình là đường thẳng cắt trục Ox tại điểm 

b. Ta có: 7x+y=1⇔y=1-7x ⇒  công thức nghiệm tổng quát: 

Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình là đường thẳng cắt trục Ox tại điểm  và cắt trục Oy tại điểm (0;1)

c. Ta có: x-2y=5⇔x=2y+5

Công thức nghiệm tổng quát: 

Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình là đường thẳng cắt trục Oy tại điểm  và cắt trục Ox tại điểm (5;0)

B. Bài tập

Câu 1: Cặp số (1;-1) là nghiệm của phương trình nào sau đây

A. x – 2y = 3

B. x + 2y = 3

C. –x – 2y = 3

D. –x + 2y = 3

Giải

Đáp án đúng là A

Trong phương trình x – 2y = 3 thay x = 1, y = -1 ta được: 1 – 2.(-1) = 3 ⇔ 3 = 3 (đúng)

Vậy cặp số (1;-1) là nghiệm của phương trình x – 2y = 3

Trong phương trình x + 2y = 3 thay x = 1, y = -1 ta được: 1 + 2.(-1) = 3 ⇔ -1 = 3  (sai)

Vậy cặp số (1;-1) không là nghiệm của phương trình x + 2y = 3

Trong phương trình -x – 2y = 3 thay x = 1, y = -1 ta được: -1 – 2.(-1) = 3 ⇔ 1 = 3 (sai)

Vậy cặp số (1;-1) không là nghiệm của phương trình -x – 2y = 3

Trong phương trình -x + 2y = 3 thay x = 1, y = -1 ta được: -1 + 2.(-1) = 3 ⇔ -3 = 3 (sai)

Vậy cặp số (1;-1) không là nghiệm của phương trình x – 2y = 3

Câu 2: Phương trình 3x + 2y = 5 có công thức nghiệm tổng quát là:

Giải

Đáp án đúng là C

Câu 3: Hình nào sau đây biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình: x – y = -2

Giải

Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình  x – y = -2 là đường thẳng cắt Ox tại (-2;0) và cắt Oy tại điểm (0;2)

Đáp án đúng là D

Câu 4: Cho phương trình: x – 4y = 3 (1). Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình (1)

A. (1;2)

B. (3;0)

C. (2;0)

D.(-1;1)

Giải

Đáp án đúng là B

Trong phương trình (1) thay x = 3, y = 0 ta được: 3 – 4.0 = 3 ⇔ 3 = 3 (đúng)

Vậy cặp số (3;0) là nghiệm của (1)

Trong phương trình (1) thay x = 1, y = 2 ta được: 1 – 4.2 = 3 ⇔ -7 = 3 (sai)

Vậy cặp số (1;2) không là nghiệm của (1)

Trong phương trình (1) thay x = 2, y = 0 ta được: 2 – 4.0 = 3 ⇔ 2 = 3  (sai)

Vậy cặp số (2;0) không là nghiệm của (1)

Trong phương trình (1) thay x = -1, y = 1 ta được: -1 – 4.1 = 3 ⇔ - 5 = 3  (sai)

Vậy cặp số (-1;1) không là nghiệm của (1)

Câu 5: Cho phương trình: 5x + y = 2 (1). Cặp số nào sau đây không là nghiệm của phương trình (1)

A. (1;-3)

B. (3;-3)

C. (0;2)

D.(-1;7)

Giải

Trong phương trình (1) thay x = 3, y = -3 ta được: 5.3 - 3 = 2 ⇔ 12 = 2 (sai)

Vậy cặp số (3;-3) không là nghiệm của (1)

Trong phương trình (1) thay x = 1, y = -3 ta được: 5.1 - 3 = 2 ⇔ 2 = 2 (đúng)

Vậy cặp số (1;-3) là nghiệm của (1)

Trong phương trình (1) thay x = 0, y = 2 ta được: 5.0 + 2 = 2 ⇔ 2 = 2 (đúng)

Vậy cặp số (0;2) là nghiệm của (1)

Trong phương trình (1) thay x = -1, y =7 ta được: 5.(-1) + 7 = 2 ⇔ 2 = 2 (đúng)

Vậy cặp số (-1;7) là nghiệm của (1)

Đáp án đúng là B

Câu 6: Hình sau biểu diễn hình học tập nghiệm cho phương trình nào

A. -3x + y = 3

B. 5x + 2y = 1

C. x – 2y = 0

D. 7x + y = 2

Giải

Đường thẳng trong hình vẽ đi qua 2 điểm: (0;3) và (-1;0). Kiểm tra ta thấy 2 cặp số này đều là nghiệm của phương trình -3x + y = 3

Đáp án đúng là A

Câu 7: Công thức nghiệm nguyên của phương trình: 2x – 5y = 3 là

Giải

Ta có:

Đặt  và x = 2(-3 + 2t) + t = 5t - 6

Vậy công thức nghiệm nguyên là: 

Đáp án đúng là B

Câu 8: Tìm nghiệm chung của 2 phương trình: 4x – 3y = -1 (1) và x + 5y = 0 (2)

Giải

Đáp án đúng là B