Cách làm bài toán parabol cắt đường thẳng thỏa mãn điều kiện về tọa độ giao điểm cực hay, có đáp án

A. Phương pháp giải

Cho parabol (P): y = ax² (a ≠ 0) và đường thẳng y = mx + n.

Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng.

ax² = mx + n ⇔ ax² - mx - n = 0 (*)

Bước 2: Xét điều kiện để parabol có điểm chung với đường thẳng:

- TH1: Parabol tiếp xúc với đường thẳng (có 1 điểm chung) ⇒ phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép (Δ = 0 hoặc Δ' = 0).

- TH2: Parabol cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt (có 2 điểm chung phân biệt) ⇒ phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt (Δ > 0 hoặc Δ' > 0).

Bước 3: Xét điều kiện về tọa độ giao điểm:

+) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm có tung độ dương ⇒ a > 0.

+) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm có tung độ âm ⇒ a < 0.

+) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm có hoành độ cùng dấu ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm cùng dấu  hay a.n < 0.

+) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm có hoành độ dương ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm dương 

+) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm có hoành độ âm ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm âm 

+) Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ trái dấu ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm trái dấu  hay a.n > 0.

+) Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm có tọa độ thỏa mãn biểu thức cho trước: Sử dụng hệ thức Vi-ét, kết hợp biến đổi biểu thức.

Bước 4: Kết luận.

B. Các ví dụ điển hình

Ví dụ 1: Đường thẳng nào sau đây cắt đồ thị hàm số  tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương?

Lời giải

Chọn B

Ví dụ 2: Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = x + m (với m là tham số). Giá trị của để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ trái dấu là:

Lời giải

Chọn D

Ví dụ 3: Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = mx + 3 (với m là tham số, m ≠ 0). Giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là các số nguyên.

Lời giải

Chọn B