Cách xác định hai đường thẳng song song, cắt nhau, vuông góc cực hay, có đáp án

Phương pháp giải

Cho hai đường thẳng:

    (d₁ ): y = ax + b (a ≠ 0)

    (d₂ ): y = a'x + b' (a' ≠ 0)

        + (d₁ ) // (d₂ ) ⇔ a = a'; b ≠ b'

        + (d₁ ) ≡ (d₂ ) ⇔ a = a'; b = b'

        + (d₁ ) cắt (d₂ ) ⇔ a ≠ a'

        + d₁ ⊥ d₂ ⇔ a.a' = -1.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Hãy chỉ ra các cặp đường thẳng song song và vuông góc trong các đường thẳng sau:

    d₁: y = 2x + 3

    d₄: y = 0,5x - 3

    d₅: y = 5 + 2x

    d₆: 7 - 2x

Hướng dẫn:

    Hai cặp đường thẳng song song là:

    d₁ // d₅ vì a = a' = 2; b ≠ b' (3 ≠ 5)

    d₂ // d₄ vì a = a' = 0,5; b ≠ b' (2 ≠ -3)

    Bốn cặp đường thẳng vuông góc với nhau là: d₁ ⊥ d₃; d₂ ⊥ d₆; d₃ ⊥ d₅; d₄ ⊥ d₆ vì đều có a.a' = -1.

Ví dụ 2: Chứng tỏ rẳng hai đường thẳng sau luôn cắt nhau với mọi giá trị của m

    a) (d₁ ): y = (m² - 4m + 5)x + 1 và (d₁ ): y = (-x + m)/2

    b) (d₃ ): y = (m² + 1)x + 2018 và (d₄ ): y = -mx + 2012

Hướng dẫn:

    a) Xét (d₁ ) có a = m² - 4m + 5 = (m - 2)² + 1 > 0

    (d₂ ) có a' = (-1)/2 < 0

    ⇒ a ≠ a' với mọi m nên (d₁ ) luôn cắt (d₂ )

    b) Xét (d₃ ) có a = m² + 1

    (d₄ ) có a' = -m

    Ta có: a - a' = m² + 1 + m = (m + 1/2)² + 3/4 > 0 ∀m

    ⇒ a ≠ a' với mọi m nên (d₃ ) luôn cắt (d₄ )

Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm ba cặp đường thẳng cắt nhau và các cặp đường thẳng song song với nhau trong số các đường thẳng sau:

    a) y = √3x - 1 (1)        b) y = 2 - x (2)

    c) y = -0,3x (3)        d) y = -0,3x - 1 (4)

    e) y = 3 + √3x (5)        f) y = -x + 3 (6)

Bài 2: Cho hai hàm số bậc nhất y = 2x + 3k và y = (2m + 1)x + 2k - 3

    Tìm điều kiện đối với m và k để đồ thị của hai hàm số là:

    a) Hai đường thẳng cắt nhau

    b) Hai đường thẳng song song

    c) Hai đường thẳng trùng nhau.

Hướng dẫn giải và đáp án

Hướng dẫn:

Bài 1:

    Các cặp đường thẳng cắt nhau là: (1) và (2); (1) và (3); (1) và (4)

    Các cặp đường thẳng song song là: 1) và (5); (2) và (6); (3) và (4)

Bài 2:

    y = 2x + 3k và y = (2m + 1)x + 2k - 3

    a) Hai đường thẳng trên cắt nhau

    ⇔ 2m + 1 ≠ 2 ⇔ m ≠ 1/2

    b) Hai đường thẳng trên song song với nhau

    c) Hai đường thẳng trên trùng nhau