Cách giải phương trình bậc bốn bằng cách đặt t (dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = 0)

A. Phương pháp giải

+) B1: Đặt t = (x + a)(x + b) ⇒ t = x² + (a + b)x + ab

⇒ t - ab = x² + (a + b)x

+) B2: Biến đổi biểu thức (x + c)(x + d) theo biến t

Ta có: (x + c)(x + d) = x² + (c + d)x + cd = x² + (a + b)x + cd = t – ab + cd

+) B3: Biến đổi phương trình (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m theo biến t

t(t – ab + cd) = m ⇔ t² + (– ab + cd)t – m = 0(*)

Giải phương trình (*) tìm t sau đó tìm x

B. Bài tập

Câu 1: Giải phương trình  (x +5)(x + 4)(x - 1)(x - 2) = 112 (1)

Giải

Phương trình (1) ⇔ (x + 5)(x - 2)(x + 4)(x - 1) = 112

Đặt t = (x - 2)(x + 5) = x² + 3x - 10

⇒ (x + 4)(x - 1) = x² + 3x - 4 = t + 6

Khi đó phương trình trở thành:

Với t = 8 ⇒ x² + 3x - 10 = 8 ⇔ x² + 3x - 18 = 0. Phương trình có ∆ = 3² + 4.1.18 = 81 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt:  x = -6, x = 3

Với t = -14 ⇒ x² + 3x - 10 = -14 ⇔ x² + 3x + 4 = 0. Phương trình có ∆ = 3² - 4.1.4 = -7 < 0 nên phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = -6, x = 3

Câu 2: Giải phương trình  (x +1)(x + 3)(x + 6)(x + 4) = -8 (1)

Giải

Phương trình (1) ⇔ (x +1)(x + 6)(x + 4)(x + 3) = -8

Đặt t = (x + 1)(x + 6) = x² + 7x + 6

⇒ (x + 4)(x + 3) = x² + 7x + 12 = t + 6

Khi đó phương trình trở thành:

Với t = -2 ⇒ x² + 7x + 6 = -2 ⇔ x² + 7x + 8 = 0. Phương trình có ∆ = 7² - 4.1.8 = 17 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt 

Với t = -4 ⇒ x² + 7x + 6 = -4 ⇔ x² + 7x + 10 = 0. Phương trình có ∆ = 7² - 4.1.10 = 9 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x = -2, x = -5

Vậy phương trình có 4 nghiệm: 

Câu 3: Giải phương trình  x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 24 (1)

Giải

Phương trình (1) ⇔ x(x + 3)(x + 1)(x + 2) = 24

Đặt t = x(x + 3) = x² + 3x

(x + 1)(x + 2) = x² + 3x + 2 = t + 2

Khi đó phương trình trở thành:

Với t = -6 ⇒ x² + 3x = -6 ⇔x² + 3x + 6 = 0 (phương trình vô nghiệm vì ∆ < 0)

Với t = 4 ⇒ x² + 3x = 4 ⇔x² + 3x - 4 = 0. Phương trình có a + b + c = 0 nên có 2 nghiệm x = 1, x = -4

Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = 1, x = -4

Câu 4: Giải phương trình  (x + 4)(x + 5)(x + 7)(x + 8) = 4 (1)

Giải

Phương trình (1) ⇔ (x + 4)(x + 8)(x + 5)(x + 7) = 4

Đặt t = (x + 4)(x + 8) = x² + 12x + 32

⇒ (x + 5)(x + 7) = x² + 12x + 35 = t + 3

Khi đó phương trình trở thành:

Với t = 1 ⇒ x² + 12x + 32 = 1 ⇔ x² + 12x + 31 = 0. Phương trình có ∆ꞌ = 36 – 31 = 5 > 0 nên có 2 nghiệm phân biệt: x = -6 ± √5

Với t = -4 ⇒ x² + 12x + 32 = -4 ⇔ x² + 12x + 36 = 0 ⇔(x + 6)² = 0 ⇔ x = -6

Vậy phương trình có 3 nghiệm: x = -6, x = -6 ± √5

Câu 5: Giải phương trình  (x + 5)(x + 6)(x - 4)(x - 5) = -21 (1)

Giải

Phương trình (1) ⇔ (x + 5)(x - 4)(x + 6)(x - 5) = -21

Đặt t = (x -4)(x + 5) = x² + x - 20

⇒ (x + 6)(x - 5) = x² + x - 30 = t - 10

Khi đó phương trình trở thành:

Với t = 3 ⇒ x² + x-20 = 3 ⇔ x² + x - 23 = 0. Phương trình có ∆ = 1² + 4.1.23 = 93 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt 

Với t = 7 ⇒ x² + x-20 = 7 ⇔ x² + x - 27 = 0. Phương trình có ∆ = 1² + 4.1.27 = 109 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt 

Vậy phương trình có 4 nghiệm: