Bài 35: Hình vuông

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa

Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau.

Tổng quát: ABCD là hình vuông ⇔

Nhận xét:

+ Hình vuông là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau.

+ Hình vuông là hình thoi có bốn góc vuông.

+ Hình vuông vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi.

2. Tính chất

Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.

3. Dấu hiệu nhận biết hình vuông

+ Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

+ Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.

+ Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác một góc là hình vuông.

+ Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

+ Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A. Phân giác trong AD của góc A (D ∈ BC ). Vẽ DF ⊥ AC, DE ⊥ AB. Chứng minh tứ giác AEDF là hình vuông.

Hướng dẫn:

+ Xét tứ giác AEDF có Aˆ = Eˆ = Fˆ = 90⁰

⇒ AEDF là hình chữ nhật .       ( 1 )

Theo giả thiết ta có AD là đường phân giác của góc Aˆ

⇒ EADˆ = DAFˆ = 45⁰.

+ Xét Δ AED có AEDˆ = 90⁰; DAEˆ = 45⁰ ⇒ EDAˆ = 45⁰

⇒ Δ AED vuông cân tại E nên AE = ED       ( 2 )

Từ ( 1 ),( 2 ) ⇒ AEDF là hình vuông (dấu hiệu 1 – mục 3)

4. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho hình vuông ABCD. Gọi I,K lần lượt là trung điểm của AD và DC.

a) Chứng minh rằng BI ⊥ AK.

b) Gọi E là giao điểm của BI và AK. Chứng minh rằng CE = AB.

Hướng dẫn:

Xét Δ BAI và Δ ADK có:

⇒ Δ BAI = Δ ADK ( c - g - c )

⇒ ABIˆ = DAKˆ (góc tương ứng bằng nhau)

Mà IAEˆ + EABˆ = 90⁰ ⇒ ABIˆ + EABˆ = 90⁰

+ Xét Δ ABE có EABˆ + ABEˆ + AEBˆ = 180⁰

⇒ AEBˆ = 180⁰ - ( ABEˆ + BAEˆ ) = 180⁰ - 90⁰ = 90⁰ hay AK ⊥ BI (đpcm)

+ Xét tứ giác EBCK có KEBˆ + EBCˆ + BCKˆ+ CKEˆ = 360⁰

⇒ EBCˆ + EKCˆ = 180⁰.

Mà AKDˆ + AKCˆ = 180⁰ nên EBCˆ = EKDˆ

+ Tứ giác EBCK nội tiếp nên BECˆ = BKCˆ

Mà BKCˆ = AKDˆ nên EBCˆ = BECˆ hay tam giác BEC cân tại C

⇒ CE = BC = AB (đpcm)

Bài 2: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Trên hai cạnh BC, CD lấy lần lượt hai điểm M, N sao cho MANˆ = 45⁰. Trên tia đối của của tia DC lấy điểm K sao cho DK = BM. Hãy tính :

a) Tính số đo KANˆ = ?

b) Chu vi tam giác MCN theo a.

Hướng dẫn:

a) Áp dụng đĩnh nghĩa và giả thiết của hình vuông ABCD, ta được

⇒ Δ ABM = Δ ADK ( c - g - c )

Áp dụng kết quả của hai tam giác bằng nhau và giả thiết, ta có:

 ⇒ KANˆ = A₃ˆ + A₄ˆ = A₁ˆ + A₃ˆ = 90⁰ - 45⁰ = 45⁰

b) Đặt BM = DK = x thì KN = x + DN, MC = a - x, CN = a - DN

Từ kết quả của hai tam giác bằng nhau ở câu a và giả thiết ta có:

 ⇒ Δ AMN = Δ AKN ( c - g - c )

⇒ MN = KN (cạnh tương ứng bằng nhau)

Khi đó, chu vi của tam giác MCN là

MC + CN + MN = a - x + a - DN + x + DN = 2a.

B. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Hãy khoanh tròn vào phương án đúng nhất trong các phương án sau ?

   A. Hình vuông là tứ giác có 4 góc vuông và 4 cạnh bằng nhau.

   B. Hình vuông là tứ giác có 4 góc bằng nhau.

   C. Hình vuông là tứ giác có 4 cạnh bằng nhau.

   D. Hình vuông là tứ giác có hai cạnh kề bằng nhau.

Bài 2: Hãy chọn đáp án sai trong các phương án sau đây ?

   A. Trong hình vuông có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

   B. Trong hình vuông có hai đường chéo không vuông góc với nhau.

   C. Trong hình vuông thì hai đường chéo đồng thời là hai trục đối xứng của hình vuông.

   D. Trong hình vuông có hai đường chéo vuông góc với nhau và bằng nhau.

Bài 3: Trong các dấu hiệu nhận biết sau thì dấu hiệu nào không đủ điều kiện để tứ giác là hình vuông?

   A. Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

   B. Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông gócvới nhau là hình vuông.

   C. Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.

   D. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

Bài 4: Tìm câu nói đúng khi nói về hình vuông?

   A. Hình vuông vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi.

   B. Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

   C. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

   D. Các phương án đều đúng.

Bài 5: Một hình vuông có độ dài cạnh bằng 4cm thì độ dài đường chéo của hình vuông là ?

   A. 8cm   B. √ 32 cm

   C. 5cm   D. 4cm

Bài 6: Hình bình hành có 1 góc vuông là:

   A. Hình thoi

   B. Hình chữ nhật

   C. Hình vuông

   D. Hình thang cân.

Bài 7: Cho hình vuông ABCD có AC = 10√2cm . Tính diện tích hình vuông?

   A. 200 cm²     B. 100 cm²

   C. 400 cm²     D. 50cm²

Bài 8: Cho hình vuông ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Hình vuông có diện tích 400cm². Tính OA?

   A. 10cm     B. 20cm

   C. 10√2cm     D. 20√2cm

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông cân tại A có M; N và H lần lượt là trung điểm của AB; AC và BC. Hỏi tứ giác AMHN là hình gì ? Chọn câu trả lời đúng nhất

   A. Hình vuông

   B. Hình chữ nhật

   C. Hình thoi

   D. Hình thang vuông

Bài 10: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB; BC; CD và DA. Hỏi tứ giác MNPQ là hình gì

   A. Hình bình hành

   B. Hình thoi

   C. Hình chữ nhật

   D. Hình vuông