Bài 11: Chia đa thức cho đơn thức

A. Lý thuyết

1. Đa thức chia cho đơn thức.

Với A là đa thức và B là đơn thức, B≠0. Ta nói A chia hết cho B nếu tìm được một biểu thức Q (Q có thể là đa thức hoặc đơn thức) sao cho A= B.Q.

Trong đó:

   A là đa thức bị chia.

   B là đơn thức chia.

   Q là thương .

Kí hiệu: B= A : B hoặc

2. Quy tắc

Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.

Chú ý: Trường hợp đa thức A có thể phân tích thành nhân tử, thường ta phân tích trước để rút gọn cho nhanh.

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính

a, ( 12x⁴y³ + 8x³y² - 4xy² ):2xy.

b, ( - 2x⁵ + 6x² - 4x³ ):2x²

Hướng dẫn:

a) Ta có: ( 12x⁴y³ + 8x³y² - 4xy² ):2xy = ( 12x⁴y³:2xy ) + ( 8x³y²:2xy ) - ( 4xy²:2xy )

= 6x⁴ - 1.y³ - 1 + 4x³ - 1.y² - 1 - 2x¹ - 1.y² - 1 = 6x³y² + 4x²y - 2y

b) Ta có: ( - 2x⁵ + 6x² - 4x³ ):2x² = ( - 2x⁵:2x² ) + ( 6x²:2x² ) - ( 4x³:2x² )

= - x⁵ - 2 + 3x² - 2 - 2x³ - 2 = - x³ - 2x + 3.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1: Thực hiện các phép tính sau:

a, ( 1/2a²x⁴ + 4/3ax³ - 2/3ax² ):( - 2/3ax² )

b, 4( 3/4x - 1 ) + ( 12x² - 3x ):( - 3x ) - ( 2x + 1 )

Hướng dẫn:

a) Ta có: ( 1/2a²x⁴ + 4/3ax³ - 2/3ax² ):( - 2/3ax² )

= ( 1/2a²x⁴: - 2/3ax² ) + ( 4/3ax³: - 2/3ax² ) + ( - 2/3ax²: - 2/3ax² )

= - 3/4ax² - 2x + 1

b) Ta có 4( 3/4x - 1 ) + ( 12x² - 3x ):( - 3x ) - ( 2x + 1 )

= 4( 3/4x - 1 ) + [ ( 12x²: - 3x ) + ( - 3x: - 3x ) ] - ( 2x + 1 )

= 4( 3/4x - 1 ) + ( - 4x + 1 ) - ( 2x + 1 ) = 3x - 4 + 1 - 4x - 2x - 1 = - 3x - 4

Bài 2: Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B với:

A = 7x^{n - 1}y⁵ - 5x³y⁴;

B = 5x²yⁿ

Hướng dẫn:

Ta có A:B = ( 7x^{n - 1} y⁵ - 5x³y⁴ ):( 5x²yⁿ ) = 7/5x^{n - 3} y^{5 - n} - xy^{4 - n}

Theo đề bài đa thức A chia hết cho đơn thức B

Vậy giá trị n cần tìm là n∈{3; 4}

Bài 3: Tìm đa thức A biết

a, A.6x⁴ = 24x⁹ - 30x⁸ + 1/2x⁵

b, A.( - 5/2x³y² ) = 5x⁶y⁴ + 15/2x⁵y³ - 10x³y²

Hướng dẫn:

a) Ta có A.6x⁴ = 24x⁹ - 30x⁸ + 1/2x⁵ ⇒ A = ( 24x⁹ - 30x⁸ + 1/2x⁵ ):( 6x⁴ )

⇔ A = 24/6x⁹ - 4 - 30/6x⁸ - 4 + 1/12x⁵ - 4 = 4x⁵ - 5x⁴ + 1/12x

Vậy A = 4x⁵ - 5x⁴ + 1/12x.

b) Ta có A.( - 5/2x³y² ) = 5x⁶y⁴ + 15/2x⁵y³ - 10x³y²

⇒ A = ( 5x⁶y⁴ + 15/2x⁵y³ - 10x³y² ):( - 5/2x³y² )

⇔ A = - 2x⁶ - 3y⁴ - 2 - 3x⁵ - 3y³ - 2 + 4x³ - 3y² - 2

⇔ A = - 2x³y² - 3x²y + 4.

Vậy A = - 2x³y² - 3x²y + 4.

B. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Đa thức M thỏa mãn xy² + 1/3x²y² + 7/2x³y = ( 5xy ).M là ?

   A. M = y + 1/15xy² + 7/10x²

   B. M = 1/5y + 1/15xy + 7/10x²

   C. M = - 1/5y + 1/5x²y + 7/10x²

   D. Cả A, B, C đều sai.

Đáp án

Bài 2: Kết quả nào sau đây đúng ?

   A. ( - 3x³ + 5x²y - 2x²y² ):( - 2 ) = - 3/2x³ - 5/2x²y + x²y²

   B. ( 3x³ - x²y + 5xy² ):( 1/2x ) = 6x² - 2xy + 10y²

   C. ( 2x⁴ - x³ + 3x² ):( - 1/3x ) = 6x² + 3x - 9

   D. ( 15x² - 12x²y² + 6xy³ ):( 3xy ) = 5x - 4xy - 2y²

Đáp án

Bài 3: Giá trị của biểu thức A = [ ( x - y )⁵ + ( x - y )⁴ + ( x - y )³ ]:( x - y ) với x = 3, y = 1 là ?

   A. A = 28   B. A = 16

   C. A = 20   D. A = 14

Đáp án

Bài 4: 

Đáp án

Chọn đáp án A

Bài 5: 

Đáp án

Chọn đáp án C

Bài 6: Cho đa thức

 đơn thức B = 2x . Không làm tính chia , hãy xét xem đa thức A có chia hết cho đơn thức B hay không?

A. Không

B. Có

C. Chưa thể kết luận

D. Tất cả sai

Đáp án

Bài 7: Thực hiện phép chia:

Đáp án

Bài 8: Tính giá trị biểu thức A tại x = -2; y = 102; z = 102

   A. 1029     B. -1028

   C. 30     D. -1

Đáp án

Bài 9: Thưc hiện phép tính chia:

Đáp án

Bài 10: Làm tính chia: 

Đáp án