Bài 47: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

A. Lý thuyết

1. Tìm điều kiện xác định của một phương trình

Điều kiện xác định của phương trình là tập hợp các giá trị của ẩn làm cho tất cả các mẫu trong phương trình đều khác 0.

Điều kiện xác định của phương trình viết tắt là ĐKXĐ.

Ví dụ: Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau

a) (x - 1)/(x + 2) + 1 = 1/(x - 2).

b) (x - 1)/(1 - 2x) = 1.

Hướng dẫn:

a) Ta thấy x + 2 ≠ 0 khi x ≠ - 2 và x - 2 ≠ 0 khi x ≠ 2.

Do đó ĐKXĐ của phương trình (x - 1)/(x + 2) + 1 = 1/(x - 2) là x ≠ ± 2.

b) Ta thấy 1 - 2x ≠ 0 khi x ≠ 1/2.

Do đó ĐKXĐ của phương trình (x - 1)/(1 - 2x) = 1 là x ≠ 1/2.

2. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Ta thường qua các bước:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình tìm được.

Bước 4: Kết luận.

Nghiệm của phương trình là giá trị của ẩn thoả mãn ĐKXĐ của phương trình.

Ví dụ 1: Giải phương trình

Hướng dẫn:

Bước 1: Điều kiện xác định: x ≠ 0; x ≠ 2.

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế rồi khử mẫu

Ta có:

⇒ 2( x - 2 )( x + 2 ) = x( 2x + 3 )

Bước 3: Giải phương trình

Ta có: 2( x - 2 )( x + 2 ) = x( 2x + 3 ) ⇔ 2( x² - 4 ) = 2x² + 3x

⇔ 2x² - 8 = 2x² + 3x ⇔ 3x = - 8 ⇔ x = - 8/3.

Bước 4: Kết luận

So sánh với ĐKXĐ, ta thấy x = - 8/3 thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = { - 8/3 }.

Ví dụ 2: Giải phương trình

Hướng dẫn:

+ ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ - 5.

+ Ta có:

⇒ ( 2x + 5 )( x + 5 ) - 2x² = 0

⇔ 2x² + 10x + 5x + 25 - 2x² = 0 ⇔ 15x = - 25 ⇔ x = - 5/3.

+ So sánh với ĐKXĐ ta thấy x = - 5/3 thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { - 5/3 }.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1: Giải các phương trình sau:

Hướng dẫn:

a) ĐKXĐ:

Ta có:

⇒ (x + 1)² - (x - 1)² = 16

⇔ ( x² + 2x + 1 ) - ( x² - 2x + 1 ) = 16

⇔ 4x = 16 ⇔ x = 4.

Vây phương trình đã cho có nghiệm x = 4.

b) ĐKXĐ:

Ta có:

⇒ 2( x² + x - 2 ) = 2x² + 2

⇔ 2x² + 2x - 4 = 2x² + 2

⇔ 2x = 6 ⇔ x = 3.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 3.

c) ĐKXĐ:

Bài 2: Giải các phương trình sau:

Hướng dẫn:

a) ĐKXĐ: x ≠ - 1;x ≠ 3.

Ta có:

⇒ - x - 1 - x + 3 = x² + x - x² + 2x - 1

⇔ -2x + 2 = 3x - 1

⇔ 5x = 3 ⇔ x = 3/5.

Kết hợp điều kiện, vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 3/5.

b) ĐKXĐ: x ≠ 3, x ≠ 4, x ≠ 5, x ≠ 6.

Ta có:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0;x = 9/2.

c) ĐKXĐ: x ≠ 1 hoặc x = -1.

Ta có:

⇒ ( x² - 1 )( x³ + 1 ) - ( x² - 1 )( x³ - 1 ) = 2( x² + 4x + 4 )

= 2(x² + 4x + 4)

⇔ ( x⁵ + x² - x³ - 1 ) - ( x⁵ - x² - x³ + 1 ) = 2( x² + 4x + 4 )

⇔ 2x² - 2 = 2x² + 8x + 8

⇔ 8x = - 10 ⇔ x = - 5/4.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = - 5/4.

B. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Nghiệm của phương trình là?

   A. x = - 1.   B. x = - 1/56.

   C. x = 1.   D. x = 1/56.

Bài 2: Nghiệm của phương trình (x + 1)/(3 - x) = 2 là?

   A. x = - 5/3.   B. x = 0.

   C. x = 5/3.   D. x = 3.

Bài 3: Tập nghiệm của phương trình là?

   A. S = { ± 1 }.   B. S = { 0;1 }.

   C. S = { 1 }.   D. S = { Ø }.

Bài 4: Nghiệm của phương trình là?

   A. x = 5/3.   B. x = - 5/3.

   C. x = - 2.   D. x = 2.

Bài 5: Giá trị của m để phương trình (x - m)/(x + 2) = 2 có nghiệm x = - 3 là ?

   A. m = 0.   B. m = 1.

   C. m = - 1.   D. m = 2.

Bài 6: Tìm nghiệm của phương trình sau:

   A. x = 0     B. x = -2

   C. x = 3     D. x = 1

Bài 7: Giải phương trình sau:

   A. x = -2     B. x = 1

   C. x = 3     D. x = -3

Bài 8: Cho phương trình sau. Tìm điều kiện xác định của phương trình trên?

Bài 9: Tìm các giá trị của x để biểu thức sau có giá trị bằng 2:

Bài 10: Giải phương trình sau: