Bài 26: Hình thang cân

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa

Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Tứ giác ABCD là hình thang cân (đáy AB, CD)

Chú ý: Nếu ABCD là hình thang cân (đáy AB, CD) thì Cˆ = Dˆ và Aˆ = Bˆ.

2. Tính chất

Định lí 1: Trong một hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau, ABCD là hình thang cân (đáy AB, CD) ⇒ AD = BC

Định lí 2: Trong một hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau, ABCD là hình thang cân (đáy AB, CD) ⇒ AC = BD

Định lí 3: Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân. Hình thang ABCD (đáy AB, CD) có AC = BD ⇒ ABCD là hình thang cân.

3. Dấu hiệu nhận biết

Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.

Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ : Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD ). Kẻ các đường cao AE, BF của hình thang. Chứng minh rằng DE = CF.

Hướng dẫn:

Ta có ABCD là hình thang cân nên AD = BC

+ Xét tam giác vuông ADE có

AD² = AE² + DE² ⇒ DE² = AD² - AE² ⇔ DE = √( AD² - AE² )       ( 1 )

+ Xét tam giác vuông BCF có:

BC² = BF² + CF² ⇒ CF² = BC² - BF² ⇔ CF = √( BC² - BF² )       ( 2 )

Xét tứ giác ABFE có AB// EF nên là hình thang. Lại có hai cạnh bên AE// BF (cùng vuông góc CD ) nên AE = BF (3)

Từ ( 1 ), ( 2 ) và ( 3 ) ⇒ DE = CF (do AD = BC và AE = BF)

5. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho hình thang cân ABCD( AB//CD,AB < CD ). Kẻ đường cao AH,BK của hình thang. Chứng minh rằng DH = CK.

Hướng dẫn:

Áp dụng định nghĩa, tính chất và giả thiết của hình thang cân ta có: ⇒ Δ ADH = Δ BCK

(trường hợp cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ DH = CK (cặp cạnh tương ứng bằng nhau)

Vậy DH = CK. (đpcm)

Bài 2: Tính các góc của hình thang cân, biết có một góc bằng 60⁰

Hướng dẫn:

Xét hình thang cân ABCD ( AB//CD ) có Dˆ = 60⁰

Theo định nghĩa và giả thiết về hình thang cân ta có:

Do góc A và góc D là hai góc cùng nằm một phía của

AB//CD nên chúng bù nhau hay Aˆ + Dˆ = 180⁰.

⇒ Aˆ = 180⁰ - Dˆ = 180⁰ - 60⁰ = 120⁰.

Do đó Aˆ = Bˆ = 120⁰.

Vậy Cˆ = Dˆ = 60⁰ và Aˆ = Bˆ = 120⁰.

B. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Điền cụm từ thích hợp vào chỗ trống

   A. Hình thang cân là…………………………………..

   B. Hình thang có………………. là hình thang cân .

   C. Hai cạnh bên của hình thang cân…………………..

   D. Hình thang cân có hai góc kề một đáy…………….

Đáp án

Bài 2: Điền chữ “Đ” hoặc “S” vào mỗi câu khẳng định sau:

   A. Tứ giác có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân.

   B. Hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau.

   C. Hình thang cân có hai góc kề một cạnh đáy bù nhau.

   D. Hình thang cân có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau.

Đáp án

Bài 3: Cho hình thang cân ABCD (như hình vẽ) có BADˆ = 60⁰. Số đo của BCDˆ = ?

   A. 50⁰   B. 60⁰

   C. 120⁰   D. 80⁰

Đáp án

Bài 4: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) . Tìm mệnh đề sai?

Đáp án

Bài 5: Cho hình thang cân ABCD (AB// CD) và Dˆ = 80^o. Tính ABCˆ

   A. 100^o     B. 90^o

   C. 80^o     D. 110^o

Đáp án

Bài 6: Cho hình thang ABCD có AB // CD , hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O sao cho OA = OB; OC = OD . Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau?

   A. ABCD là hình thang cân

   B. AC = BD

   C. BC = AD

   D. Tam giác AOD cân tại O.

Đáp án

Bài 7: Cho hình thang cân ABCD có AB // CD và Aˆ = 125^o. Tính Bˆ ?

   A. 125^o     B. 65^o

   C. 90^o     D. 55^o

Đáp án

Bài 8: Cho hình thang cân ABCD có AB// CD và AB = BC. Tìm khẳng định sai.

Đáp án

Bài 9: Cho hình thang cân ABCD có AB // CD. Gọi giao điểm của AD và BC là M . Tam giác MCD là tam giác gì ?

   A. Tam giác cân     B. Tam giác nhọn

   C. Tam giác vuông     D. Tam giác tù

Đáp án