Bài 12: Chia đa thức một biến đã sắp xếp

A. Lý thuyết

1. Phương pháp

Ta trình bày phép chia tương tự như cách chia các số tự nhiên. Với hai đa thức A và B của một biến, B≠0 tồn tại duy nhất hai đa thức Q và R sao cho:

A = B.Q + R, với R=0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B.

   Nếu R=0, ta được phép chia hết.

   Nếu R≠0, ta được phép chia có dư.

Ví dụ: Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến rồi làm phép chia:

a, ( x³ - 7x + 3 - x² ):( x - 3 ).

b, ( 5x³ + 7 - 3x² ):( x² + 1 ).

Hướng dẫn:

a) Ta có:

Khi đó ta có: ( x³ - 7x + 3 - x² ) = ( x - 3 ).( x² + 2x - 1 )

b) Ta có

Khi đó ta có ( 5x³ + 7 - 3x² ) = ( x² + 1 )( 5x - 3 ) - 5x + 10.

2. Bài tập tự luyện

Bài 1: Thực hiện các phép chia

a, ( 2x³ - 26x - 24 ):( x² + 4x + 3 )

b, ( x³ - 9x² + 28x - 30 ):( x - 3 )

Hướng dẫn:

a) Ta có phép chia

Vậy ( 2x³ - 26x - 24 ) = ( x² + 4x + 3 )( 2x - 8 )

b) Ta có phép chia

Vậy ( x³ - 9x² + 28x - 30 ) = ( x - 3 )( x² - 6x + 10 )

Bài 2: Tính nhanh các phép chia sau:

a, ( x⁶ + 2x³y² + y⁴ ):( x³ + y² )

b, ( 625x⁴ - 1 ):[ ( 5x + 1 )( 5x - 1 ) ]

Hướng dẫn:

a) Ta có ( x⁶ + 2x³y² + y⁴ ):( x³ + y² ) = ( x³ + y² )²:( x³ + y² ) = ( x³ + y² )

Vậy ( x⁶ + 2x³y² + y⁴ ):( x³ + y² ) = ( x³ + y² )

b) Ta có ( 625x⁴ - 1 ):[ ( 5x + 1 )( 5x - 1 ) ] = [ ( 25x² - 1 )( 25x² + 1 ) ]:( 25x² - 1 ) = ( 25x² + 1 )

Vậy ( 625x⁴ - 1 ):[ ( 5x + 1 )( 5x - 1 ) ] = ( 25x² + 1 )

Bài 3: Tìm các số nguyên n để giá trị của biểu thức n³ + 6n² -7n + 4 chia hết cho giá trị của biểu thức n - 2.

Hướng dẫn:

Ở đây, ta có thực hiện đặt phép chia như câu 1 để tìm số dư và tìm điều kiện giá trị của n để thỏa mãn đề bài. Nhưng bài này ta làm cách biến đổi như sau:

Ta có n³ + 6n² -7n + 4 = ( n³ - 3n².2 + 3.n.2² - 8 ) + 12n² - 19n + 12

= ( n - 2 )³ + 12n( n - 2 ) + 5( n - 2 ) + 22

Khi đó ta có: (n³ + 6n² - 7n + 4)/(n - 2) = ( n - 2 )² + 12n + 5 + 22/(n - 2)

Để giá trị của biểu thức n³ + 6n² -7n + 4 chia hết cho giá trị của biểu thức n - 2.

⇔ ( n - 2 ) ∈ UCLN( 22 ) = {± 1; ± 2; ± 11; ± 22 }

⇒ n ∈ {- 20; - 9; 0; 1; 3; 4; 13; 24 }

Vậy các giá trị nguyên của n cần tìm là n ∈ { - 20; - 9; 0; 1; 3; 4; 13; 24 }

B. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Kết quả của phép chia ( 7x³ - 7x + 42 ):( x² - 2x + 3 ) là ?

   A. - 7x + 14   B. 7x + 14

   C. 7x - 14   D. - 7x - 14

Đáp án

Bài 2: Phép chia x³ + x² - 4x + 7 cho x² - 2x + 5 được đa thức dư là ?

   A. 3x - 7.   B. - 3x - 8.

   C. - 15x + 7.   D. - 3x - 7.

Đáp án

Bài 3: Hệ số a thỏa mãn để 4x² - 6x + a chia hết có x - 3 là ?

   A. a = - 18.   B. a = 8.

   C. a = 18.   D. a = - 8.

Đáp án

Bài 4: Thực hiện phép chia: (4x⁴ + x + 2x³ - 3x²) : (x² + 1) ta được số dư là :

A. – x + 7

B. 4x² + 2x - 7

C. 4x² – 2x + 7

D. x – 7

Đáp án

Ta có: 4x⁴ + x + 2x³ - 3x² = 4x⁴ + 2x³ – 3x² + x

Vậy: (4x⁴ + x + 2x³ - 3x²) = (4x² + 2x – 7 ).(x² +1) – x + 7

Chọn đáp án A

Bài 5: Thực hiện phép chia (3x³ + 2x + 1 ) : (x + 2) ta được đa thức dư là :

   A. 10     B. -9

   C. – 15     D. – 27

Đáp án

Ta có:

Vậy số dư của phép chia đã cho là –27

Chọn đáp án D

Bài 6: Thực hiện phép chia (-4x⁴ + 5x² + x ) : (x² + x) ta được kết quả là:

A. – 4x⁴ + 5x² + x = (x² + x).(-4x² - 4x + 9) - 6x

B. – 4x⁴ + 5x² + x = (x² + x).(4x² + 4x + 9) + 12x

C. – 4x⁴ + 5x² + x = (x² + x).(-4x² + 4x + 9) - 8x

D. – 4x⁴ + 5x² + x = (x² + x). ( 4x² - 4x + 9) + 10x

Đáp án

Ta có:

Vậy –4x⁴ + 5x² + x = (x² + x).(-4x² + 4x + 9) - 8x

Chọn đáp án C

Bài 7: Cho phép chia: (x³ + 9x² + 27x + 27) : (x + 3). Tìm khẳng định sai?

A. Đây là phép chia hết

B. Thương của phép chia là: (x + 3)²

C. Thương của phép chia là: x² + 6x + 9

D. Số dư của phép chia là: x – 3 .

Đáp án

Bài 8: Thực hiện phép chia: (x²y + 4xy + 3y ) : (x + 1) ta được thuơng là:

   A. xy + 3     B. x + 3y

   C. x + y + 3     D. y. (x + 3)

Đáp án

Bài 9: Tìm a để phép chia (x³ – 4x + a): (x – 2) là phép chia hết:

   A. a = 0     B. a = 4

   C. a = -8     D. a = 8

Đáp án

Ta có:

Để phép chia đã cho là phép chia hết khi và chỉ khi phần dư bằng 0. Do đó, a =0

Chọn đáp án A

Bài 10: Làm tính chia: (9x³y² + 10x⁴y⁵ - 8x²y²) : x²y²

   A. 9x + 10x²y²     B. 9 + 10x²y² - 8

   C. 9x + 10x²y³ – 8     D. Đáp án khác

Đáp án