Bài 74: Tổng hợp Lý thuyết, Bài tập Chương 4 Hình học 8

A. Lý thuyết

1. Hình hộp chữ nhật

Định nghĩa: Hình hộp chữ nhật là hình không gian có 6 mặt đều là những hình chữ nhật.

+ Hình hộp chữ nhật có 6 mặt, 8 đỉnh, 12 cạnh.

+ Hai mặt đối diện nhau được xem là mặt đáy của hình hộp chữ nhật, các mặt còn lại được gọi là mặt bên

+ Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có 6 mặt đều là những hình vuông.

a) Thể tích hình hộp chữ nhậ

Ta có V = a.b.h

b) Thể thích hình lập phương

Ta có: V = a³.

2. Mặt phẳng và đường thẳng

+ Qua ba điểm không thẳng hàng xác định một và chỉ một mặt phẳng.

+ Qua hai đường thẳng cắt nhau xác định một và chỉ một mặt phẳng.

+ Đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đó đều thuộc mặt phẳng.

3. Hai đường thẳng song song trong không gian

+ Hai đường thẳng a, b gọi là song song với nhau nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung. Kí hiệu a // b.

+ Hai đường thẳng phân biệt, cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Chú ý: Hai đường thẳng phân biệt trong không gian có thể:

– Cắt nhau – Song song – Chéo nhau (không cùng nằm trong một mặt phẳng)

4. Đường thẳng song song với mặt phẳng. Hai mặt phẳng song song

a) Đường thẳng song song với mặt phẳng

– Một đường thẳng a gọi là song song với một mặt phẳng ( P ) nếu đường thẳng đó không nằm trong mặt phẳng ( P ) và song song với một đường thẳng d nằm trong mặt phẳng.

Kí hiệu a // ( P ).

– Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì chúng không có điểm chung.

b) Hai mặt phẳng song song

– Nếu mặt phẳng ( Q ) chứa hai đường thẳng cắt nhau, cùng song song với mặt phẳng ( P ) thì mặt phẳng ( Q ) song song với mặt phẳng ( P ). Kí hiệu ( Q )//( P ).

– Hai mặt phẳng song song với nhau thì không có điểm chung.

– Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng đi qua điểm chung đó (đường thẳng chung đó được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng).

5. Đường thẳng vuông góc với đường thẳng. Hai mặt phẳng vuông góc

a) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

– Đường thẳng d gọi là vuông góc với mặt phẳng ( P ) nếu đường thẳng dvuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng ( P ). Kí hiệu d ⊥ ( P ).

– Nếu một đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng ( P ) tại điểm A thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong ( P ) và đi qua điểm A.

b) Hai mặt phẳng vuông góc

– Mặt phẳng ( P ) gọi là vuông góc với mặt phẳng ( Q ) nếu mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ( Q ). Kí hiệu ( Q ) ⊥ ( P ).

6. Hình lăng trụ đứng

– Hai đáy là hai đa giác bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song.

– Các cạnh bên song song, bằng nhau và vuông góc với hai mặt phẳng đáy. Độ dài cạnh bên được gọi chiều cao của hình lăng trụ đứng.

– Các mặt bên là những hình chữ nhật và vuông góc với hai mặt phẳng đáy.

– Hình hộp chữ nhật, hình lập phương là những hình lăng trụ đứng.

– Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng.

7. Diện tích – Thể tích của hình lăng trụ đứng

a) Công thức diện tích xung quanh

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng bằng chu vi đáy nhân với chiều cao:

S_xq = 2p.h    (p: nửa chu vi đáy, h: chiều cao)

b) Diện tích toàn phần

Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích hai đáy.

S_tp = S_xq + 2S    (S: điện tích đáy)

c) Thể tích

Thể tích của hình lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân với chiều cao:

V = S.h    (S: diện tích đáy, h: chiều cao)

8. Hình chóp

– Đáy là một đa giác, các mặt bên là những tam giác có chung một đỉnh.

– Đường thẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy gọi là đường cao.

9. Hình chóp đều

Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều, các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh.

+ Chân đường cao của hình chóp đều trùng với tâm của đường tròn đi qua các đỉnh của mặt đáy.

+ Đường cao vẽ từ đỉnh của mỗi mặt bên của hình chóp đều được gọi là trung đoạn của hình chóp đó.

10. Hình chóp cụt đều

Hình chóp cụt đều là phần hình chóp đều nằm giữa mặt phẳng đáy của hình chóp và mặt phẳng song song với đáy và cắt hình chóp.

+ Mỗi mặt bên của hình chóp cụt đều là một hình thang cân.

11. Diện tích – Thể tích hình chóp đều

a) Diện tích xung quanh của hình chop đều

Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn:

S_xq = p.d (p: nửa chu vi đáy, d: trung đoạn)

b) Diện tích toàn phần của hình chóp

Diện tích toàn phần của hình chóp bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích đáy:

S_tp = S_xq + S (S: diện tích đáy)

c) Công thức thể tích của hình chóp đều

Thể tích của hình chóp bằng một phần ba của diện tích đáy nhân với chiều cao:

V = 1/3S.h (S: diện tích đáy, h: chiều cao)

B. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Số mặt, số đỉnh, số cạnh của hình lập phương là?

   A. 4 mặt, 8 đỉnh, 12 cạnh.

   B. 6 mặt, 8 đỉnh, 12 cạnh.

   C. 6 mặt, 12 đỉnh, 8 cạnh.

   D. 8 mặt, 6 đỉnh, 12 cạnh.

Bài 2: Hình hộp chữ nhật có số cặp mặt song song là?

   A. 2   B. 3

   C. 4   D. 5

Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Chọn phát biểu đúng?

   A. ( ABCD ) // ( BCC'B' )

   B. ( BCC'B' ) // ( ADD'A' )

   C. ( CDD'C' ) // ( ADD'A' )

   D. ( ABCD ) // ( ADD'A' )

Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Chọn phát biểu đúng?

   A. AB//CD   B. B'C'//CC'

   C. CD//AD   D. BC//BB'

Bài 5: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sau đây sai?

   A. Qua ba điểm không thẳng hàng xác định một và chỉ một mặt phẳng.

   B. Qua hai đường thẳng cắt nhau xác định một và chỉ một mặt phẳng

   C. Đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đó đều thuộc mặt phẳng.

   D. Hai mặt phẳng song song với nhau thì có ít nhất một điểm chung.

Bài 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Chọn phát biểu đúng?

   A. CD ⊥ ( A'B'C'D' )

   B. DC ⊥ ( AA'D'A )

   C. A'D' ⊥ ( BCC'B' )

   D. CC' ⊥ ( AA'B'B )

Bài 7: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 2cm, AD = 3cm, AA' = 4cm. Thể tích hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' ?

   A. 12( cm³ )   B. 24( cm³ )

   C. 18( cm³ )   D. 15( cm³ )

Bài 8: Cho hình lập phương có các cạnh có độ dài là 5cm. Thể tích của hình lập phương đó là?

   A. 100( cm³ )   B. 115( cm³ )

   C. 125/3( cm³ )   D. 125( cm³ )

Bài 9: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có diện tích đáy S_ABCD = 24cm² và có thể tích V = 84( cm³ ). Chiều cao của hình hộp chữ nhật có độ dài là?

   A. h = 4( cm )   B. h = 3,5( cm )

   C. h = 5( cm )   D. h = 2( cm )

Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Chọn phát biểu đúng trong các phát biểu sau:

   A. ( ABCD ) ⊥ ( A'B'C'D' )

   B. ( ADD'A' ) ⊥ ( BCC'B' )

   C. ( ABB'A' ) ⊥ ( BCC'B' )

   D. ( ABB'A' ) ⊥ ( CDD'C' )

Bài 11: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác ABC vuông tại A có AB = 3cm, AC = 4cm. Hình lăng trụ có chiều cao h = 3cm. Thể tích của hình lăng trụ đó là?

   A. V = 9( cm³ )   B. V = 18( cm³ )

   C. V = 24( cm³ )   D. V = 36( cm³ )

Bài 12: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 4cm, BC = 5cm, chiều cao h = 2,5cm. Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng là?

   A. S_xq = 22,5( cm² )   B. S_xq = 45( cm² )

   C. S_xq = 30( cm² )   D. S_xq = 36( cm² )

Bài 13: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 4cm, BC = 5cm, chiều cao h = 2,5cm. Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng là?

   A. S_tp = 62,5( cm² )   B. S_xq = 85( cm² )

   C. S_tp = 70( cm² )   D. S_xq = 76( cm² )

Bài 14: Chọn phát biểu đúng trong các phát biểu sau:

   A. Hình lăng trụ tam giác có 4 mặt, 6 đỉnh.

   B. Hình lăng trụ tam giác có 5 mặt, 6 đỉnh.

   C. Hình lăng trụ tam giác có 4 mặt, 5 đỉnh

   D. Hình lăng trụ tam giác có 4 mặt, 4 đỉnh.

Bài 15: Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau?

   A. Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác bất kì, các mặt bên là những tam giác bất kì có chung đỉnh.

   B. Chân đường cao của hình chóp đều trùng với tâm của đường tròn đi qua các đỉnh của mặt đáy.

   C. Đường cao vẽ từ đỉnh của mỗi mặt bên của hình chóp đều được gọi là trung đoạn của hình chóp đó.

   D. Trong hình chóp đường thẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy gọi là đường cao.

Bài 16: Mặt bên của hình chóp cụt đều là hình gì?

   A. Hinh chữ nhật

   B. Hình vuông.

   C. Hình thang cân

   D. Tứ giác bất kì

Bài 17: Hình chóp tứ giác đều có mặt bên là hình gì?

   A. Tam giác cân

   B. Tam giác đều

   C. Tam giác vuông

   D. Tam giác vuông cân

Bài 18: Hình chóp lục giác đều có bao nhiêu mặt?

   A. 4   B. 5

   C. 6   D. 7

Bài 19: Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình gì?

   A. Hình bình hành    B. Hình thang cân

   C. Hình chữ nhật    D. Hình vuông

Bài 20: Các mặt bên của hình lăng trụ đứng?

   A. Song song với nhau

   B. Bằng nhau

   C. Vuông góc với hai đáy

   D. Có tất cả 3 tính chất trên.

Bài 21: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thang vuông ( Aˆ = Dˆ = 90⁰ ). Có bao nhiêu cạnh song song với mặt phẳng ( BCC'B' ) ?

   A. 3   B. 4

   C. 5   D. 6

Bài 22: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thang vuông ( Aˆ = Dˆ = 90⁰ ). Có bao nhiêu cạnh vuông góc với mặt phẳng ( BCC'B' ) ?

   A. 2   B. 3

   C. 4   D. 5

Bài 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3cm, chiều cao của hình chóp là h = 2cm. Thể tích của hình chóp đã cho là?

   A. 6( cm³ )   B. 18( cm³ )

   C. 12( cm³ )   D. 9( cm³ )

Bài 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AB = 4cm,BC = 5cm. Biết thể tích của hình chóp S.ABCD bằng 36( cm³ ). Tính độ dài đường cao của hình chóp?

   A. 6( cm )   B. 8( cm )

   C. 5,4( cm )   D. 7,2( cm )

Bài 25: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 4cm, các mặt bên là tam giác cân có độ dài cạnh bên là 6cm. Diện tích xung quanh của hình chóp đã cho là?

   A. 32( cm² )   B. 32√2 ( cm² )

   C. 16√2 ( cm² )   D. 16( cm² )

Bài 26: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB = 5cm, AC = 12cm,BC = 13cm. Có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABB'A' ) ?

   A. 1   B. 2

   C. 4   D. 3

Bài 27: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có BACˆ = 90⁰ ,AB = 6cm, AC = 8cm, AA' = 15cm. Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đó?

   A. 258cm²   B. 360cm²

   C. 456cm²   D. 408cm²

Bài 28: Cho hình hộp chữ nhật có diện tích xung quanh bằng tổng diện tích hai đáy, chiều cao bằng 6cm. Một kích thức của đáy bằng 10cm. tính kích thước còn lại?

   A. 15cm   B. 20cm

   C. 25cm   D. 10cm

Bài 29: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có chiều cao bằng 2cm, BAB'ˆ = 45⁰ . Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ?

   A. 15cm²   B. 6cm²

   C. 12cm²   D. 16cm²

Bài 30: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có chiều cao bằng 2cm, BAB'ˆ = 45⁰ . Tính diện tích toàn phần của hình lăng trụ?

   A. 15cm²   B. ( 12 + 2√3 )cm²

   C. 12cm²   D. 16cm²

C. Bài tập tự luận

1. Nhận biết – Thông hiểu

Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'

a) Nếu O là trung điểm của đoạn CB₁ thì O có là điểm thuộc đoạn BC₁ ?

b) K là điểm thuộc cạnh CD, liệu K có thể là điểm thuộc cạnh BB₁ hay không?

Hướng dẫn:

a) Câu trả lời trên là có. Thật vậy, vì mặt bên BCC₁B₁ là hình chữ nhật có O là trung điểm của đường chéo CB₁ nên O cũng là trung điểm của đường chéo BC₁ (theo tính chất đường chéo của hình chữ nhật). Vậy thuộc đoạn BC₁.

b) K không thuộc cạnh BB₁ vì K ∉ mp( BB₁C₁C ) mà BB₁ thuộc mặt phẳng đó

Vậy K không thuộc cạnh BB₁.

Bài 2: Các kích thước của hình hộp chữ nhật ABCD.A₁B₁C₁D₁ là DC = 5 cm; CB = 4cm; BB₁ = 3 cm. Tính các độ dài DC₁, CB₁ ?

Hướng dẫn:

DC₁ ∈ mp( DCC₁D₁ ) là hình chữ nhật nên Δ DCC₁ vuông tại C.

Áp dụng định lý Py – ta – go vào Δ DCC₁ vuông tại C ta được: DC₁² = CC₁² + CD²

Hay DC₁² = 3² + 5² ⇔ DC₁² = ( √34 )² ⇔ DC₁ = √34 ( cm )

CB₁ ∈ ( BCC₁B₁ ) là hình chữ nhật nên Δ BCB₁ vuông tại B.

Áp dụng định lí Py – ta – go vào Δ BCB₁ vuông tại B ta được: CB₁² = CB² + BB₁²

Hay CB₁² = 3² + 4² = 5² ⇔ CB₁ = 5( cm )

Vậy DC₁ = √34 ( cm ); CB₁ = 5( cm )

Bài 3: Xét sự đúng sai trong các phát biểu sau?

a) Hình chóp đều có đáy là hình thoi và chân đường cao trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy.

b) Hình chóp đều có đáy là hình chữ nhật và chân đường cao trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy.

Hướng dẫn:

a) Sai, vì hình thoi không phải là tứ giác đều (các góc không bằng nhau).

b) Sai, vì hình chữ nhật không phải là tứ giác đều (các cạnh không bằng nhau).

Bài 4: Quan sát các hình dưới đây và điền cụm từ và số thích hợp và ô trống, biết các hình dưới đây là hình chóp đều

Hướng dẫn:

Bài 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A₁B₁C₁D₁ có ABCD là hình vuông. Gọi O là giao điểm của AC và BD, O₁ là giao điểm của A₁C₁ và B₁D₁. Chứng minh rằng:

a) BDD₁B₁ là hình chữ nhật.

b) OO₁ ⊥ ( ABCD )

Hướng dẫn:

a) Từ giả thiết ABCD.A₁B₁C₁D₁ là hình hộp chữ nhật nên các mặt bên ( BB₁A₁A ),( BB₁C₁C ) là hình chữ nhật, do đó ta có:

⇒ BB₁ ⊥ mp( ABCD )

Mặt khác đường chéo BD ⊂ mp( ABCD ) và đi qua B nên:

BB₁ ⊥ BD ⇒ B₁BDˆ = 90⁰

Chứng minh tương tự như trên, ta cũng được: BB₁D₁ˆ = BDD₁ˆ = 90⁰

Điều đó chứng tỏ tứ giác BDD₁B₁ có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

b) Chứng minh tương tự như câu a, ta có tứ giác ACC₁A₁ là hình chữ nhật

Áp dụng tính chất đường chéo và các hình vuông ABCD, A₁B₁C₁D₁ ta được O là trung điểm của AC và BD và O₁ là trung điểm của A₁C₁ và B₁D₁

⇒ OO₁ là đường trung bình của các hình chữ nhật BDD₁B₁ và ACC₁A₁

Do đó: OO₁//BB₁//DD₁//AA₁//CC₁

Suy ra

Bài 6: Các kích thức của hình hộp chữ nhật như trên hình vẽ. Tính độ dài của đoạn AC₁ ?

Hướng dẫn:

Vì ABCD.A₁B₁C₁D₁ là hình hộp chữ nên

CC₁ ⊥ mp( ABCD ) ⇒ CC₁ ⊥ AC hay tam giác ACC₁ vuông tại C, đáy ABCD là hình chữ nhật nên tam giác ACD vuông tại D.

Áp dụng định lý Py – ta – go ta có:

Thay đẳng thức ( 1 ) vào ( 2 ) ta được:

AC₁² = CD² + AD² + CC₁² ⇒ AC₁ = √(CD² + AD² + CC₁²)

Hay AC₁ = √(30² + 40² + 120²) = √(130²) = 130( cm )

Bài 7: Tính chiều cao của hình lăng trụ đứng ABCD.EFGH, biết rằng đáy ABCD là hình thoi có các đường chéo AC = 10cm,BD = 24cm và diện tích toàn phân bằng 1280cm²

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức: S_tp = S_xq + 2S_d

Hay S_xq = S_tp - 2S_d = 1280 - 2.1/2.1024

= 1280 - 240 = 1040( cm² )

Vì đáy ABCD là hình thoi nên AC vuông góc với BD tại O (tính chất về đường chéo của hình thoi)

Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác BOC vuông tại O ta được:

BC² = BO² + OC² ⇒ BC² = 12² + 5² = 13² ⇔ BC = 13( cm )

Chu vi đáy là 2p = 4.13 = 52( cm )

Áp dụng công thức S_xq = 2p.h ⇒ h = S_xq/(2p) = 1040/52 = 20( cm )

Bài 8: Một trại hè có dạng hình lăng trụ đứng đáy tam giác, thể tích hình không gian bên trong là 2,16( cm³ ). Biết chiều dài lều AD = 2,4( cm ), chiều rộng của lều là 1,2cm. Tính chiều cao AH của lều?

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức thể tích của hình lăng trụ đứng ta có: V = S.h

Ta có:

Do đó: V = S.h = 0,6AH.2,4 = 1,44AH

Theo giả thiết ta có: 1,44AH = 2,16 ⇔ AH = 1,5( cm )

2. Vận dung – Vận dụng cao

Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật có diện tích xung quang 120cm², chiều cao bằng 6cm. Tìm các kích thước của đáy để hình hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất?

Hướng dẫn:

Gọi a và b là các kích thước của đáy

Thể tích của hình hộp chữ nhật là V = 6ab

Để V lớn nhất ⇔ ab lớn nhất

Ta có: S_xq = 120 ⇒ 2( a + b ).6 = 120 ⇔ a + b = 10

+ ab = a( 10 - a ) = - a² + 10a = - ( a - 5 )² + 25 ≤ 25

Khi đó ta có: ⇒ V = 6ab ≤ 6.25 = 150

Thể tích lớn nhất bằng 150cm³ khi và chỉ khi a = b = 5cm.

Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là hình thoi và các đường chéo là 16cm và 30 cm. Diện tích toàn phần của hình lăng trụ là 1840cm². Tính chiều cao của hình lăng trụ

Hướng dẫn:

Độ dài cạnh của hình thoi là: a = √(8² + 15²) = 17( cm )

Gọi h là độ dài đường cao của hình lăng trụ

Chu vi của hình thoi là 68( cm )

Diện tích xung quanh của hình thoi là: S_xq = 68.h

Diện tích toàn phần là S_tp = S_xq + 2S_d = 68h + 1/2.2.16.30 = 68h + 480

Theo giả thiết ta có: S_tp = 1840 ⇒ 68h + 480 = 1840 ⇔ h = 20( cm )

Bài 3: Tính diện tích toàn phần của hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a.

Hướng dẫn:

Xét hình chóp S.ABC có AB = AC = BC = a và SH = 2a.

Gọi M là trung điểm của BC thì AM vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của tam giác đều ABC nên AM ⊥ BC và HM = 1/3AM.

Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác vuông ABM vuông tại M ta được:

AB² = BM² + AM² ⇒ a² = ( a/2 )² + AM²

Do đó HM = (a√3 )/6.

Áp dụng định lí Py – ta – go vào tam giác vuông SHM vuông tại H, ta có:

SM² = HM² + SH²

Áp dụng công thức: S_tp = S_xq + S_d

Ta có: