Bài 55: Tổng hợp Lý thuyết, Bài tập Chương 4 Đại số 8

A. Lý thuyết

1. Bất đẳng thức

Hệ thức dạng a < b (hay dạng a > b; a ≥ b; a ≤ b ) được gọi là bất đẳng thức a gọi là vế trái, b gọi là vế phải của bất đẳng thức.

2. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Tính chất: Cho ba số a,b và c, ta có

Nếu a < b thì a + c < b + c.

Nếu a ≤ b thì a + c ≤ b + c.

Nếu a > b thì a + c > b + c.

Nếu a ≥ b thì a + c ≥ b + c.

3. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương

a) Tính chất

Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho

b) Tổng quát

Với ba số a, b và c mà c > 0, ta có:

Nếu a < b thì ac < bc

Nếu a ≤ b thì ac ≤ bc

Nếu a > b thì ac > bc

Nếu a ≥ b thì ac ≥ bc.

4. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số âm

a) Tính chất

Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được một bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho

b) Tổng quát

Với ba số a, b và c mà c < 0, ta có:

Nếu a < b thì ac > bc

Nếu a ≤ b thì ac ≥ bc

Nếu a > b thì ac < bc

Nếu a ≥ b thì ac ≤ bc.

5. Bất phương trình một ẩn

Bất phương trình ẩn x là hệ thức A( x ) > B( x ) hoặc A( x ) < B( x ) hoặc A( x ) ≥ B( x ) hoặc A( x ) ≤ B( x ).

Trong đó: A( x ) gọi là vế trái; B( x ) gọi là vế phải.

Nghiệm của bất phương trình là giá trị của ẩn để khi thay vào bất phương trình ta được một khẳng định đúng.

6. Định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất phương trình dạng ax + b < 0 (hoặc ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0 ) trong đó a và b là hai số đã cho, a ≠ 0, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

7. Hai quy tắc biến đổi

a) Quy tắc chuyển vế

Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta đổi dấu hạng tử đó.

b) Quy tắc nhân với một số.

Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:

Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương.

Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.

8. Giá trị tuyệt đối

Giá trị tuyệt đối của số a, được kí hiệu là | a |, ta định nghĩa như sau:

9. Các dạng toán liên quan đến giá trị tuyệt đối

a) Phương pháp chung

Bước 1: Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

Bước 2: Giải các phương trình sau khi phá dấu giá trị tuyệt đối

Bước 3: Chọn nghiệm thích hợp trong từng trường hợp đang xét

Bước 4: Kết luận nghiệm

b) Một số dạng cơ bản

Dạng

hoặc

Dạng | A | = | B | ⇔ A = B hay A = - B.

Dạng phương trình có chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối

+ Xét dấu các biểu thức chứa ẩn nằm trong dấu GTTĐ.

+ Chia trục số thành nhiều khoảng sao cho trong mỗi khoảng, các biểu thức nói trên có dấu xác định.

+ Xét từng khoảng, khử các dấu GTTĐ, rồi giải PT tương ứng trong trường hợp đó.

+ Kết hợp các trường hợp đã xét, suy ra số nghiệm của PT đã cho.

B. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?

4 + ( - 3 ) ≤ 5    ( 1 )

6 + ( - 2 ) ≤ 7 + ( - 2 )    ( 2 )

24 + ( - 5 ) > 25 + ( - 5 )    ( 3 )

   A. ( 1 ),( 2 ),( 3 )   B. ( 1 ),( 3 )

   C. ( 1 ),( 2 )   D. ( 2 ),( 3 )

Bài 2: Cho a - 3 > b - 3. So sánh hai số a và b

   A. a ≥ b   B. a < b

   C. a > b   D. a ≤ b

Bài 3: Cho a > b. So sánh 5 - a với 5 - b

   A. 5 - a ≥ 5 - b.

   B. 5 - a > 5 - b.

   C. 5 - a ≤ 5 - b.

   D. 5 - a < 5 - b.

Bài 4: Một Ampe kế có giới hạn đo là 25 ampe. Gọi x( A ) là số đo cường độ dòng điện có thể đo bằng Ampe kế. Khẳng định nào sau đây đúng?

   A. x ≤ 25   B. x < 25

   C. x > 25   D. x ≥ 25

Bài 5: Cho a > b, c > d. Khẳng định nào sau đây đúng?

   A. a + d > b + c

   B. a + c > b + d

   C. b + d > a + c

   D. a + b > c + d

Bài 6: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?

( 1 )    ( - 4 ).5 < ( - 5 ).4

( 2 )    ( - 7 ).12 ≥ ( - 7 ).11

( 3 )    - 4x² > 0

   A. ( 1 ),( 2 ) và ( 3 )   B. ( 1 ),( 2 )

   C. ( 1 )   D. ( 2 ),( 3 )

Bài 7: Cho a + 1 ≤ b + 2. So sánh hai số 2a + 2 và 2b + 4. Khẳng định nào dưới đây đúng ?

   A. 2a + 2 > 2b + 4

   B. 2a + 2 < 2b + 4

   C. 2a + 2 ≤ 2b + 4

   D. 2a + 2 ≥ 2b + 4

Bài 8: Cho a > b. Khẳng định nào sau đây đúng?

   A. - 3a - 1 > - 3b - 1

   B. - 3( a - 1 ) < - 3( b - 1 )

   C. - 3( a - 1 ) > - 3( b - 1 )

   D. 3( a - 1 ) < 3( b - 1 )

Bài 9: Cho a ≥ b. Khẳng định nào sau đây đúng?

   A. 2a - 5 ≤ 2( b - 1 )

   B. 2a - 5 ≥ 2( b - 1 )

   C. 2a - 5 ≥ 2( b - 3 )

   D. 2a - 5 ≤ 2( b - 3 )

Bài 10: Cho x > 0. Khẳng định nào sau đây đúng?

   A. ( x + 1 )² ≤ 0

   B. ( x + 1 )² > 1

   C. ( x + 1 )² ≤ 1

   D. ( x + 1 )² < 1

Bài 11: Nghiệm x = 3 là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

   A. 5 - x < 1

   B. 3x + 1 < 4

   C. 4x - 11 > x

   D. 2x - 1 > 3

Bài 12: Tập nghiệm nào sau đây là tập nghiệm của bất phương trình: x ≤ 2 ?

   A. S = { x| x ≥ 2 }.

   B. S = { x| x ≤ 2 }.

   C. S = { x| x ≥ - 2 }.

   D. S = { x| x < 2 }.

Bài 13: Hình vẽ sau là tập nghiệm của bất phương trình nào?

   A. 2x - 4 < 0

   B. 2x - 4 > 0

   C. 2x - 4 ≤ 0

   D. 2x - 4 ≥ 0

Bài 14: Cho bất phương trình 3x - 6 > 0. Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào tương đương với bất phương trình đã cho?

   A. 2x - 4 < 0

   B. 2x - 4 ≥ 0

   C. x > 2

   D. 1 - 2x < 1

Bài 15: Bất phương trình ax + b > 0 vô nghiệm khi

Bài 16: Bất phương trình ax + b ≤ 0 vô nghiệm khi?

Bài 17: Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình x( 2 - x ) ≥ x( 7 - x ) - 6( x - 1 ) trên đoạn [ - 10;10 ] bằng?

   A. 5   B. 6

   C. 21   D. 40

Bài 18: Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình: là?

   A. 15   B. 11

   C. 26   D. 0

Bài 19: Tập nghiệm của bất phương trình: ( x - 1 )² + ( x - 3 )² + 15 < x² + ( x - 4 )² là?

   A. S = x > 0   B. x < 0

   C. S = R   D. S = Ø

Bài 20: Tập nghiệm S của bất phương trình: 5x - 1 ≥ (2x)/5 + 3 là?

   A. S = R   B. S = ( - ∞ ;2 )

   C. S = x ≤ 7/15   D. x ≥ 20/23

Bài 21: Bất phương trình có bao nhiêu nghiệm nguyên lớn hơn -10 ?

   A. 4   B. 5

   C. 9   D. 10

Bài 22: Tập nghiệm S của bất phương trình: ( 1 - √ 2 )x < 2√ - 2 là?

   A. x < √ 2    B. x > √ 2

   C. S = R   D. S = Ø

Bài 23: Bất phương trình ( 2x - 1 )( x + 3 ) - 3x + 1 ≤ ( x - 1 )( x + 3 ) + x² - 5 có tập nghiệm là?

   A. x < - 2/3    B. x ≥ 1/2

   C. S = R   D. S = Ø

Bài 24: Bất phương trình ( m² - 3m )x + m < 2 - 2x vô nghiệm khi?

   A. m ≠ 1   B. m ≠ 2

   C. m = 1,m = 2   D. m ∈ R

Bài 25: Bất phương trình m²( x - 1 ) ≥ 9x + 3m có nghiệm đúng với mọi x khi?

   A. m = 1   B. m = - 3

   C. m = Ø    D. m = - 1

Bài 26: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình m( x - 1 ) < 3 - x có nghiệm?

   A. m ≠ 1   B. m = 1

   C. m ∈ R   D. m ≠ 3

Bài 27: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình ( m² + m - 6 )x ≥ m + 1 có nghiệm?

   A. m ≠ 2   B. m ≠ 2, m ≠ 3

   C. m ∈ R   D. m ≠ 3

Bài 28: Biểu thức A = | 4x | + 2x - 1 với x < 0, rút gọn được kết quả là?

   A. A = 6x - 1

   B. A = 1 - 2x

   C. A = - 1 - 2x

   D. A = 1 - 6x

Bài 29: Tập nghiệm của phương trình: | 3x + 1 | = 5

   A. S = - 2    B. S = 4/3

   C. S = - 2;4/3    D. S = Ø

Bài 30: Tập nghiệm của phương trình | 2 - 3x | = | 5 - 2x | là?

   A. S = { - 3;1 }   B. S = { - 3;7/5 }

   C. S = { 0;7/5 }   D. S = { - 3;1 }

Bài 31: Giá trị m để phương trình | 3 + x | = m có nghiệm x = - 1 là?

   A. m = 2   B. m = - 2

   C. m = 1   D. m = - 1

Bài 32: Giá trị của m để phương trình | x - m | = 2 có nghiệm là x = 1 ?

   A. m ∈ { 1 }   B. m ∈ { - 1;3 }

   C. m ∈ { - 1;0 }   D. m ∈ { 1;2 }

C. Bài tập tự luận

1. Mức độ thông hiểu – nhận biết

Bài 1: Khẳng định sau đây đúng hay sai? Vì sao?

a) - 6 > 5 - 10

b) - 4 + 2 ≥ 5 - 7

c) 11 + ( - 6 ) ≤ 10 + ( - 6 )

Hướng dẫn:

a) Ta có: VP = 5 - 10 = - 5

Mà - 5 > - 6 ⇒ VP > VT.

Vậy khẳng định trên là sai.

b) Ta có:

Khẳng định trên đúng.

c) Ta có: ⇒ VT = 11 + ( - 6 ) > VP = 10 + ( - 6 )

Khẳng định trên là sai.

Bài 2: So sánh a và b biết:

a) a - 15 > b - 15

b) a + 2 ≤ b + 2

Hướng dẫn:

a) Ta có: a - 15 > b - 15 ⇔ a - 15 + 15 > b - 15 + 15 ⇔ a > b

Vậy a > b

b) Ta có: a + 2 ≤ b + 2 ⇒ a + 2 + ( - 2 ) ≤ b + 2 + ( - 2 ) ⇔ a ≤ b

Vậy a ≤ b

Bài 3: Khẳng định sau đúng hay sai?

a) ( - 3 ).4 > ( - 3 ).3

b) ( - 4 )( - 5 ) ≤ ( - 6 )( - 5 )

Hướng dẫn:

a) Ta có: 4 > 3 ⇒ ( - 3 ).4 < ( - 3 ).3

Khẳng định trên là sai.

b) Ta có: - 4 ≥ - 6 ⇒ ( - 4 )( - 5 ) ≤ ( - 6 )( - 5 )

Khẳng định trên là đúng

Bài 4: Cho 3a ≤ 2b ( b ≥ 0 ). Hãy so sánh 2 số 5a và 4b

Hướng dẫn:

Ta có: 3a ≤ 2b ⇒ 5/3.3a ≤ 5/3.2b ⇒ 5a ≤ 10/3b

Mà 10/3 < 4 ⇒ 10/3b ≤ 4b ⇒ 5a ≤ 4b

Bài 5: Tìm tập nghiệm của các bất phương trình sau:

a) ( x + √ 3 )² ≥ ( x - √ 3 )² + 2

b) x + √ x < ( 2√ x + 3 )( √ x - 1 )

c) ( x - 3 )√(x - 2) ≥ 0

Hướng dẫn:

a) Ta có: ( x + √ 3 )² ≥ ( x - √ 3 )² + 2

⇔ x² + 2√ 3 x + 3 ≥ x² - 2√ 3 x + 3 + 2

⇔ 4√3x ≥ 2 ⇔ x ≥ (√3)/6

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là x ≥ (√3)/6

b) Ta có: x + √ x < ( 2√ x + 3 )( √ x - 1 )

Điều kiện: x ≥ 0

⇔ x + √ x < 2x - 2√ x + 3√ x - 3

⇔ - x < - 3 ⇔ x > 3

Kết hợp điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là: x > 3

c) Ta có: ( x - 3 )√ (x - 2) ≥ 2

Điều kiện: x ≥ 2

Bất phương trình tương đương là

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = 2 ∪ [ 3; + ∞ )

Bài 6: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để bất phương trình ( m² - m )x < m vô nghiệm là?

Hướng dẫn:

Rõ ràng nếu

thì bất phương trình luôn có nghiệm.

Với m = 0, bất phương trình trở thành 0x < 0: vô nghiệm.

Với m = 1, bất phương trình trở thành 0x < 1: luôn đúng với mọi x ∈ R

Vậy với m = 0 thì bất phương trình trên vô nghiệm.

Bài 7: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức sau:

a) A = 3x + 2 + | 5x | với x > 0

b) A = | 4x | - 2x + 12 với x < 0.

c) A = | x - 4 | - x + 1 với x < 4

Hướng dẫn:

a) Với x > 0 ⇒ | 5x | = 5x

Khi đó ta có: A = 3x + 2 + | 5x | = 3x + 2 + 5x = 8x + 2

Vậy A = 8x + 2.

b) Ta có: x < 0 ⇒ | 4x | = - 4x

Khi đó ta có: A = | 4x | - 2x + 12 = - 4x - 2x + 12 = 12 - 6x

Vậy A = 12 - 6x.

c) Ta có: x < 4 ⇒ | x - 4 | = 4 - x

Khi đó ta có: A = | x - 4 | - x + 1 = 4 - x - x + 1 = 5 - 2x.

Vậy A = 5 - 2x

Bài 8: Giải các phương trình sau:

a) | 2x | = x - 6

b) | - 5x | - 16 = 3x

c) | 4x | = 2x + 12

d) | x + 3 | = 3x + 1

Hướng dẫn:

a) Ta có: | 2x | = x - 6

+ Với x ≥ 0, phương trình tương đương: 2x = x - 6 ⇔ x = - 6.

Không thỏa mãn điều kiện x ≥ 0.

+ Với x < 0, phương trình tương đương: - 2x = x - 6 ⇔ - 3x = - 6 ⇔ x = 2.

Không thỏa mãn điều kiện x < 0.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

b) Ta có: | - 5x | - 16 = 3x

+ Với x ≥ 0, phương trình tương đương: 5x - 16 = 3x ⇔ 2x = 16 ⇔ x = 8

Thỏa mãn điều kiện x ≥ 0

+ Với x < 0, phương trình tương đương: - 5x - 16 = 3x ⇔ 8x = - 16 ⇔ x = - 2

Thỏa mãn điều kiện x < 0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { - 2;8 }

c) Ta có: | 4x | = 2x + 12

+ Với x ≥ 0, phương trình tương đương: 4x = 2x + 12 ⇔ 2x = 12 ⇔ x = 6

Thỏa mãn điều kiện x ≥ 0

+ Với x < 0, phương trình tương đương: - 4x = 2x + 12 ⇔ - 6x = 12 ⇔ x = - 2

Thỏa mãn điều kiện x < 0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { - 2;6 }

d) Ta có: | x + 3 | = 3x + 1

+ Với x ≥ - 3, phương trình tương đương: x + 3 = 3x + 1 ⇔ - 2x = - 2 ⇔ x = 1.

Thỏa mãn điều kiện x ≥ - 3

+ Với x < - 3, phương trình tương đương: - x - 3 = 3x + 1 ⇔ - 4x = 4 ⇔ x = - 1

Không thỏa mãn điều kiện x < - 3

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { 1 }

2. Vận dụng – Vận dung cao

Bài 1: Giải bất phương trình với a là hằng số

Hướng dẫn:

Điều kiện xác định: a ≠ 0.

Ta có:

⇔ x( a + 2 ) > 1/a    ( 1 )

+ Nếu a > - 2,a ≠ 0 thì nghiệm của bất phương trình là

+ Nếu a < - 2 thì nghiệm của bất phương trình là

+ Nếu x = - 2 thì ( 1 ) có dạng 0x > - 1/2 luôn đúng với ∀ x ∈ R

Bài 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình mx + 4 > 0 nghiệm đúng với mọi | x | < 8 ?

Hướng dẫn:

Yêu cầu của bài toán tương đương f( x ) = mx + 4 > 0, ∀ x ∈ ( - 8;8 )

⇔ Đồ thị hàm số y = f( x ) trên khoảng ( - 8;8 ) nằm phía trên trục hoành

⇔ Hai đầu mút của đoạn thẳng đó đều nằm trên phía trục hoành

Vậy giá trị m cần tìm là m ∈ [ - 1/2;1/2 ]

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức N = x( x + 1 )( x + 2 )( x + 3 )

Hướng dẫn:

Ta có: N = ( x² + 3x )( x² + 3x + 2 )

Đặt y = x² + 3x², ta đưa biểu thức về dạng:

N = y( y + 2 ) = y² + 2y + 1 - 1 = ( y + 1 )² - 1 ≥ - 1

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi y + 1 = 0 ⇔ y = - 1 tức x² + 3x = - 1

Ta có: x² + 3x = - 1 ⇔ x² + 3x + 1 = 0

Vậy giá trị nhỏ nhất là

Bài 4: Giải phương trình | x - 5 | + | x + 3 | = 3x - 1

Hướng dẫn:

+ Với x < - 3, phương trình đã cho có dạng:

( 5 - x ) - ( x + 3 ) = 3x - 1 ⇔ x = 3/5 (loại vì không thỏa mãn điều kiện)

+ Với - 3 ≤ x < 5, phương trình đã cho có dạng:

( 5 - x ) + ( x + 3 ) = 3x - 1 ⇔ 3x = 9 ⇔ x = 3 (thỏa mãn khoảng đang xét)

+ Với x ≥ 5, phương trình đã cho có dạng:

( x - 5 ) + ( x + 3 ) = 3x - 1 ⇔ x = - 1 (không thỏa mãn không xét)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 3