Bài 64: Tổng hợp Lý thuyết, Bài tập Chương 3 Hình học 8

A. Lý thuyết

1. Đoạn thẳng tỉ lệ

a) Định nghĩa

AB,CD tỉ lệ với A'B',C'D' ⇔ AB/CD = A'B'/C'D'.

b) Tính chất

AB/CD = A'B'/C'D' ⇒ 

2. Định lý Ta – lét thuận và đảo

Khi a//BC ⇔ 

3. Hệ quả định lý Ta – lét trong tam giác

Ta có a//BC 

4. Tính chất đường phân giác trong tam giác

a) Phân giác góc trong

Tổng quát: Δ ABC, AD là đường phân giác của góc BACˆ ( D ∈ BC )

Ta có: DB/DC = AB/AC hay DB/AB = DC/AC

b) Phân giác góc ngoài

AE' là phân giác của góc BAxˆ ( AB ≠ AC )

Ta có: AB/AC = E'B/E'C hay E'B/AB = E'C/AC

5. Tam giác đồng dạng

Hai tam giác được gọi là đồng dạng với nhau nếu chúng có các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ.

Tam giác ABC gọi là đồng dạng với tam giác A'B'C' nếu

Kí hiệu: Δ ABC ∼ Δ A'B'C'

Tỉ số cách cạnh tương ứng A'B'/AB = A'C'/AC = B'C'/BC = k được gọi là tỉ số đồng dạng

6. Các trường hợp bằng nhau và trường hợp đồng dạng của hai tam giác

a) Các trường hợp bằng nhau

+ A'B' = AB;B'C' = BC và A'C' = AC ⇒ Δ ABC = Δ A'B'C'( c - c - c )

+ A'B' = AB; B'C' = BC và Bˆ = B'ˆ ⇒ Δ ABC = Δ A'B'C'( c - g - c ).

+ Aˆ = A'ˆ; Bˆ = B'ˆ và A'B' = AB ⇒ Δ ABC = Δ A'B'C'( g - c - g ).

b) Các trường hợp đồng dạng

+ A'B'/AB = A'C'/AC = B'C'/BC ⇒ Δ ABC ∼ Δ A'B'C'( c - c - c ).

+ A'B'/AB = B'C'/BC và Bˆ = B'ˆ ⇒ Δ ABC ∼ Δ A'B'C'( c - g - c ).

+ Aˆ = A'ˆ và Bˆ = B'ˆ ⇒ Δ ABC ∼ Δ A'B'C'( g - g ).

7. Trường hợp đồng dạng của tam giác vuông ABC và A'B'C' (với Aˆ = A'ˆ = 90^0 )

+ A'B'/AB = A'C'/AC.

+ Bˆ = B'ˆ hoặc Cˆ = C'ˆ.

+ A'B'/AB = B'C'/BC.

8. Mở rộng

Nếu hai tam giác đồng dạng với nhau thì:

+ Tỉ số hai đường cao tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.

+ Tỉ số hai đường phân giác tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.

+ Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.

+ Tỉ số các chu vi bằng tỉ số đồng dạng.

+ Tỉ số các diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

B. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Cho AB = 6 cm, AC = 18 cm, tỉ số hai đoạn thẳng AB và AC là?

   A. 1/2    B. 1/3

   C. 2   D. 3

Đáp án

Bài 2: Tìm độ dài x cho hình vẽ sau biết MN//BC

   A. x = 2,75   B. x = 5

   C. x = 3,75   D. x = 2,25

Đáp án

Bài 3: Cho AB/A'B' = CD/C'D'

⇔ AB.C'D' = A'B'.CD    ( I )

⇔ AB/CD = A'B'/C'D'    ( II )

   A. ( I ),( II ) đều sai.

   B. ( I ),( II ) đều đúng.

   C. Chỉ có ( I ) đúng

   D. Chỉ có ( II ) đúng.

Đáp án

Bài 4: Cho các đoạn thẳng AB = 6cm, CD = 4cm, PQ = 8cm, EF = 10cm, MN = 25mm, RS = 15mm. Hãy chọn phát biểu đúng trong các phát biểu sau?

   A. Đoạn AB và PQ tỉ lệ với hai đoạn thẳng EF vs RS.

   B. Hai đoạn thẳng AB và RS tỉ lệ với hai đoạn thẳng EF và MN

   C. Hai đoạn thẳng AB và CD tỉ lệ với hai đoạn thẳng PQ và EF

   D. Cả 3 phát biểu đều sai.

Đáp án

Bài 5: Cho các đoạn thẳng AB = 8cm, AC = 6cm, MN = 12cm, PQ = x cm. Tìm x để AB và CD tỉ lệ với MN và PQ?

   A. x = 18 mm   B. x = 9 cm

   C. x = 0,9 cm   D. x = 2 cm

Đáp án

Bài 6: Tính x trong trường hợp sau:

   A. x = 4,5   B. x = 3

   C. x = 2   D. Cả 3 đáp án trên đều sai

Đáp án

Bài 7: Cho hình bên. Chọn câu trả lời đúng?

   A. MN/NP = RQ/MR ⇒ NR//PQ

   B. MN/MP = MR/RQ ⇒ NR//PQ

   C. MN/NP = MR/MQ ⇒ NR//PQ

   D. Cả 3 đáp án đều sai.

Đáp án

Bài 8: Cho hình bên. Chọn câu trả lời đúng?

   A. SL/LK = HI/HK ⇒ SH//LI

   B. SL/SK = HI/HK ⇒ SH//LI

   C. HI/HK = LK/SL ⇒ SH//LI

   D. HK/HI = SL/SK ⇒ SH//LI

Đáp án

Bài 9: Cho Δ ABC có độ dài các cạnh như hình vẽ. Kết quả nào sau đây đúng?

   A. ED/BC = 1,5   B. ED/BC = 3/7,5

   C. ED/BC = 3 5    D. Cả 3 đáp án đều sai.

Đáp án

Bài 10: Cho Δ ABC vuông tại A có AB = 3 cm, BC = 5 cm, AD là đường phân giác của Δ ABC. Chọn phát biểu đúng?

   A. BD = 20/7 cm; CD = 15/7 cm

   B. BD = 15/7 cm; CD = 20/7 cm

   C. BD = 1,5 cm; CD = 2,5 cm

   D. BD = 2,5 cm; CD = 1,5 cm

Đáp án

Bài 11: Cho Δ ABC có BD là đường phân giác, AB = 8 cm, BC = 10 cm, AC = 6cm. Chọn phát biểu đúng?

   A. DA = 8/3 cm, DC = 10/3 cm

   B. DA = 10/3 cm, DC = 8/3 cm

   C. DA = 4 cm, DC = 2 cm

   D. DA = 3,5 cm, DC = 2,5 cm

Đáp án

Bài 12: Cho Δ ABC có Aˆ = 120⁰ , AD là đường phân giác. Chọn phát biểu đúng?

   A. 1/AD + 1/AC = 1/AB

   B. 1/AB + 1/AC = 1/AD

   C. 1/AB + 1/AC = 2/AD

   D. 1/AB + 1/AC + 1/AD = 1

Đáp án

Bài 13: Cho Δ ABC. Tia phân giác góc trong của góc A cắt BC tại D. Cho AB = 6, AC = x, BD = 9, BC = 21. Tính kết quả đúng của độ dài cạnh x ?

   A. x = 14   B. x = 12

   C. x = 8   D. x = 6

Đáp án

Bài 14: Cho Δ ABC có AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm. Đường phân giác BACˆ cắt BC tại D. Tỉ số diện tích của Δ ABD và Δ ACD là?

   A. 1/4    B. 1/2

   C. 3/4    D. 1/3

Đáp án

Bài 15: Ta có Δ MNP ∼ Δ ABC thì

   A. MN/AB = MP/AC    B. MN/AB = MP/BC

   C. MN/AB = NP/AC    D. MN/BC = NP/AC

Đáp án

Bài 16: Cho Δ ABC ∼ Δ A'B'C' có AB = 3A'B'. Kết quả nào sau đây sai?

   A. Aˆ = A'ˆ ; Bˆ = B'ˆ

   B. A'C' = 1/3 AC

   C. AC/BC = A'C'/B'C' = 3

   D. AB/A'B' = AC/A'C' = BC/B'C'

Đáp án

Bài 17: Cho Δ ABC ∼ Δ A'B'C' có AB/A'B' = 2/5 . Biết hiệu số chu vi của Δ A'B'C' và Δ ABC là 30cm. Phát biểu nào sau đây đúng?

   A. Chu vi của Δ ABC là 20cm, chu vi của Δ A'B'C' là 50cm.

   B. Chu vi của Δ ABC là 50cm, chu vi của Δ A'B'C' là 20cm.

   C. Chu vi của Δ ABC là 45cm, chu vi của Δ A'B'C' là 75cm.

   D. Δ A'B'C'

Đáp án

Bài 18: Cho Δ ABC có AB = 8cm, AC = 6cm, BC = 10cm. Tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC có độ dài cạnh lớn nhất là 25 cm. Tính độ dài các cạnh còn lại của Δ A'B'C' ?

   A. 4cm; 3cm   B. 7,5cm; 10cm

   C. 4,5cm; 6cm   D. 15cm; 20cm

Đáp án

Bài 19: Cho Δ ABC ∼ Δ DEF có tỉ số đồng dạng là k = 3/5 , chu vi của Δ ABC bằng 12cm. Chu vi của Δ DEF là?

   A. 7,2cm   B. 20cm

   C. 3cm   D. 17/3 cm

Đáp án

Bài 20: Cho Δ ABC vuông góc tại A có BC = 5cm, AC = 3cm, EF = 3cm, DE = DF = 2,5cm. Chọn phát biểu đúng?

   A. Δ ABC ∼ Δ DEF

   B. ABCˆ = EFDˆ

   C. ACBˆ = ADFˆ

   D. ACBˆ = DEFˆ

Đáp án

Bài 21: Cho hai tam giác Δ RSK và Δ PQM có: RS/PQ = RK/PM = SK/QM thì:

   A. Δ RSK ∼ Δ PQM   B. Δ RSK ∼ Δ MPQ

   C. Δ RSK ∼ Δ QPM   D. Δ RSK ∼ Δ QMP

Đáp án

Bài 22: Nếu Δ RSK ∼ Δ PQM có: RS/PQ = RK/PM = SK/QM thì

   A. RSKˆ = PQMˆ    B. RSKˆ = PMQˆ

   C. RSKˆ = MPQˆ    D. RSKˆ = QPMˆ

Đáp án

Bài 23: Chọn câu trả lời đúng?

   A. Δ ABC, Δ DEF; AB/DE = AC/DF ;Bˆ = Eˆ ⇒ Δ ABC ∼ Δ DEF

   B. Δ ABC, Δ DEF; AB/DE = AC/DF ;Cˆ = Fˆ ⇒ Δ ABC ∼ Δ DEF

   C. Δ ABC, Δ DEF; AB/DE = AC/DF ;Aˆ = Dˆ ⇒ Δ ABC ∼ Δ DEF

   D. Δ ABC, Δ DEF; AB/DE = AC/DF ;Aˆ = Eˆ ⇒ Δ ABC ∼ Δ DEF

Đáp án

Bài 24: Cho hình bên, ABCD là hình thang ( AB//CD ) có AB = 12,5cm; CD = 28,5cm; DABˆ = DBCˆ . Tính độ dài đoạn BD gần nhất bằng bao nhiêu?

   A. 17,5   B. 18

   C. 18,5   D. 19

Đáp án

Bài 25: Cho EF/GH = MN/PQ . Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau?

   A. EF.PQ = GH.MN

   B. EF/GH = (EF + MN )/( GH + PQ )

   C. EF/( EF + GH ) = MN/( MN + PQ )

   D. EF/( EH + GH ) = MN/( MN + PQ )

Đáp án

Bài 26: Cho Δ ABC có AB = 15cm, AC = 20cm, BC = 25cm, đường phân giác góc A cắt BC tại D. Tính độ dài đoạn BD (theo cm)

   A. 10    B. 10 ( 5/7 )

   C. 14    D. 14 (2/7 )

Đáp án

Bài 27: Cho tam giác ABC có các đường phân giác là AD, BE, CF. Chọn phát biểu đúng trong các phát biểu sau?

Đáp án

Bài 28: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10cm, AD là đường phân giác của góc A ( D ∈ BC ). Kết quả nào sau đây đúng?

   A. DB = 4cm

   B. DC = 7cm

   C. DB = 30/7 cm

   D. DC = DB

Đáp án

Bài 29: Cho Δ ABC ∼ Δ A'B'C' có tỉ số đồng dạng là k = 5/9 . P và P' lần lượt là chu vi của tam giác ABC và tam giác A'B'C', biết P + P' = 28. Tính P và P'.

   A. P = 16cm, P' = 12cm

   B. P = 12cm, P' = 16cm

   C. P = 10cm, P' = 18cm

   D. P = 14cm, P' = 14cm

Đáp án

Bài 30: Nếu hai tam giác DEF và SKL có DF/SL = EF/KL và Fˆ = Lˆ thì:

   A. DF/SL = DE/KL

   B. DF/SL = DE/SK

   C. DF/SK = DE/SL

   D. DF/KL = EF/SK

Đáp án

C. Bài tập tự luận

1. Nhận biết – Thông hiểu

Bài 1: Cho đoạn thẳng AB = 10 cm

a) Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C sao cho CA/CB = 3/2 . Tính độ dài đoạn CB.

b) Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho DA/DB = 3/2 . Tính độ dài đoạn CD.

Hướng dẫn:

a) Từ giả thiết

CA/CB = 3/2

với t > 0

Nên AB = 10 cm = CA + CB = 5t ⇔ t = 2

Vậy CB = 4 cm

b) Từ giả thiết

Mặt khác D thuộc tia đối của tia BA nên DA > DB

Do đó AB = 10 cm = DA - DB = 3t - 2t ⇔ t = 10 cm

Vậy DB = 20 cm

Bài 2: Tính giá trị của x trên hình vẽ đã có:

Hướng dẫn:

a) Áp dụng định lí Ta – lét vào tam giác ABC có MN//BC

Ta có:

Hay 4/x = 5/3,5 ⇒ x = 4.3,5/5 = 2,8( cm )

Vậy x = 2,8( cm )

b) Áp dụng định lí Ta – lét vào tam giác DEF có PQ//EF

Ta có:

Hay 10,5/x = 9/( 24 - 9) ⇒ x = (10,5.15 )/9 = 17,5 ( cm )

Vậy x = 17,5 ( cm )

Bài 3: Tính độ dài x, y trong các hình bên

Hướng dẫn:

a) Áp dụng hệ quả của định lí Ta – lét ta có:

DE//BC ⇒ BC/DE = AB/AD hay x/8 = 28,5/9,5

⇔ x = 8.28,5/9,5 = 456/19 ≈ 31,58

b) Ta có: A'B'//AB vì cùng vuông góc AA'

Áp dụng hệ quả của định lí Ta – lét ta có:

A'B'//AB ⇒ AB/A'B' = AO/A'O hay x/4,2 = 6/3 ⇔ x = 8,4

Áp dụng định lí Py – ta – go với Δ OAB ta có:

O B² = A B² + O A² ⇒ y = √ ( 8, 4² + 6² ) ≈ 10,32

Bài 4: Cho hình thang ABCD ( AB//CD ) có O là giao điểm của hai đường chéo. Đường thẳng qua O song song hai đáy và cắt AD, BC lần lượt tại E và F. Chứng minh OE = OF.

Hướng dẫn:

Áp dụng hệ quả của định lí Ta – lét cho OE//DC,

OF//DC và AB//DC ta được:

Điều phải chứng minh.

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Tính AB, BC biết AD = 4 cm và DC = 5 cm.

Hướng dẫn:

Áp dụng tính chất đường phân giác BD của tam giác

ABC, ta có:

 với t > 0

Áp dụng định lý Py – ta – go ta có:

B C² = A C² + A B² hay ( 5t )² = 9² + ( 4t )² ⇔ ( 3t )² = 9² ⇒ t = 3 (vì t > 0 )

Khi đó: AB = 12cm, BC = 15cm

Bài 6: Cho tam giác ABC, các đường phân giác BD và CE. Biết AD/DC = 2/3 , EA/EB = 5/6 . Tính các cạnh của tam giác ABC, biết chu vi của tam giác là 45cm.

Hướng dẫn:

Áp dụng tính chất của các đường phân giác BD và CE của tam giác ABC ta được:

+ AB/BC = AD/DC = 2/3 = 4/6

với t > 0

+

Theo giả thiết ta có: P_ABC = AB + AC + BC = 15t = 45 ⇒ t = 3

Vậy AB = 12( cm ); BC = 18( cm ); AC = 15( cm )

Bài 7: Cho Δ A'B'C' ∼ Δ A''B''C'' theo tỉ số đồng dạng k₁ , Δ A''B''C'' ∼ Δ ABC theo tỉ số đồng dạng là k₂ . Hỏi Δ A''B''C'' ∼ Δ A'B'C' và Δ A'B'C' ∼ Δ ABC đồng dạng theo tỉ số nào?

Hướng dẫn:

Gọi tỉ số đồng dạng của Δ A''B''C'' ∼ Δ A'B'C' là k

Ta có:

Điều đố chứng tỏ Δ A''B''C'' ∼ Δ A'B'C' theo tỉ số đồng dạng là k = 1/k₁

Gọi tỉ số đồng dạng của Δ A'B'C' ∼ Δ ABC là k₃

Thì k₁ = A'B'/A''B'' , k₂ = A''B''/AB ⇒ k₃ = A'B'/AB = A'B'/A''B'' . A''B''/AB = k₁ . k₂

Điều đó chứng tỏ Δ A'B'C' ∼ Δ ABC theo tỉ số đồng dạng là k₃ = k₁ k₂

Bài 8: Cho tam giác Δ A'B'C' ∼ Δ ABC theo tỉ số đồng dạng là k = 3/5

a) Tính tỉ số chu vi của hai tam giác đã cho.

b) Cho biết hiệu chu vi của hai tam giác trên là 40dm. Tính chu vi của hai tam giác đã cho

Hướng dẫn:

a) Ta có:

Δ A'B'C' ∼ Δ ABC

b) Theo giả thiết ta có: P_ABC - P_A'B'C' = 40dm

Khi đó ta có:

hay

Bài 9: Tứ giác ABCD có AB = 2cm; BC = 6cm; CD = 8cm; DA = 3cm và BD = 4cm. Chứng minh rằng:

a) Δ BAD ∼ Δ DBC

b) ABCD là hình thang

Hướng dẫn:

a) Ta có:

BA/BD = AD/BC = BD/CD = 1/2 ⇒ Δ BAD ∼ Δ DBC ( c - c - c )

b) Ta có: Δ BAD ∼ Δ DBC

⇒ ABDˆ = BDCˆ nên AB//CD

⇒ ABCD là hình thang.

Bài 10: Chân đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn thẳng có độ dài lần lượt là 25 cm và 36 cm. Tính chu vi và diện tích của tam giác đó.

Hướng dẫn:

Ta có: Δ AHB ∼ Δ CHA ⇒ AH/HC = HB/HA

Hay HA/36 = 25/HA ⇔ H A² = 30² ⇒ HA = 30( cm )

Ta có: S_ABC = 1/2 AH.BC = 1/2 .30.61 = 915( cm² )

Áp dụng định lý Py – ta –go ta được:

2. Vận dung – Vận dụng cao

Bài 1: Cho hình vẽ như bên, biết EBAˆ = BDCˆ

a) Trong hình vẽ có bao nhiêu tam giác vuông? Kể tên các tam giác vuông đó.

b) Cho AE = 10cm, AB = 15cm, BC = 12cm. Hãy tính độ dài các đoạn thẳng CD, BE, BD và ED (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

c) So sánh diện tích tam giác BDE với tổng diện tích hai tam giác AEB và BCD

Hướng dẫn:

a) Từ giả thiết và tính chất về góc của tam giác vuông BCD ta có:

⇒ B₁ˆ + B₂ˆ = 90⁰ ⇒ EBDˆ = 90⁰ , do ABCˆ là góc bẹt

Vậy trong hình vẽ có 3 tam giác vuông là ABE, BCD, EDB

b) Ta có:

⇒ Δ CDB ∼ Δ ABE ( g - g )

⇒ CD/AB = BC/AE hay CD/15 = 10/12 ⇔ CD = ( 10.15)/12 ⇒ CD = 18 ( cm )

Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác vuông ABE có:

B E² = A E² + A B² ⇒ B E² = 10² + 15² ⇒ BE ≈ 18,0( cm )

Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác vuông BCD có:

B D² = C D² + B C² ⇒ B D² = 18² + 12² = 468 ⇒ BD ≈ 21,6( cm )

Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác vuông EBD có:

E D² = B D² + B E² ⇒ E D² = 325 + 468 = 793 ⇒ ED ≈ 28,2( cm )

c) Ta có:

Vậy S_BED > S_AEB + S_BCD

Bài 2: Cho B nằm trên đoạn thẳng AC, AB = 6cm, BC = 24cm. Vẽ về một phía của AC các tia Ax và Cy vuông góc với AC. Trên tia Ax lấy điểm E sao cho EB = 10cm, trên tia Cy lấy điểm D sao cho MD = 30cm. Chứng minh EBDˆ = 90⁰ .

Hướng dẫn:

Áp dụng định lý Py – ta –go và tam giác CDB vuông tại C ta được: B D² = D C² + B C²

Hay 30² = D C² + 24² ⇔ D C² = 18² ⇔ DC = 18( cm )

Xét Δ BEA và Δ DBC có:

Từ định nghĩa về tam giác đồng dạng và tính chất về góc của tam giác vuông DCB. Ta có:

⇒ B₁ˆ + B₂ˆ = 90⁰ ⇒ EBDˆ = 90⁰ (do ABCˆ là góc bẹt)

Vậy EBDˆ = 90⁰

Bài 3: Cho tam giác ABC. Qua D là điểm trên cạnh BC lần lượt kẻ các đường thẳng song song với AB, AC chúng cắt AB, AC theo thứ tự ở E và F. Biết diện tích của tham giác BED là 16cm² , diện tích tam giác FDC bằng 25cm² . Tính S_ABC

Hướng dẫn:

Đặt S_ABC = S. Vì DE//AC nên Δ BED ∼ Δ BAC

Lại có DF//AB nên Δ CDF ∼ Δ CBA

Cộng theo vế của đẳng thức ( 1 ) và ( 2 ) ta được:

Vậy diện tích của tam giác ABC là 81cm²

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có AB = 15cm;AC = 20cm. Tia phân giác của góc HAB cắt HB tại D, tia phân giác của góc HAC cắt HC tại E. Tính độ dài các đoạn AH, HD và HE.

Hướng dẫn:

Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác ABC vuông tại A, ta được:

B C² = A C² + A B² ⇒ B C² = 15² + 20²

⇔ B C² = 25² ⇔ BC = 25( cm )

Đặt BD = x ⇒ DC = 25 - x

Áp dụng định lý Py 0 ta – go vào hai tam giác vuông AHB và AHC, ta được:

Trừ theo vế các đẳng thức ( 1 ) và ( 2 ) ta được:

15² - x² - 20² + ( 25 - x )² = 0 ⇔ 50x = 450 ⇔ x = 9( cm )

Nên HC = 25 - 9 = 16( cm )

Thay x = 9 vào đẳng thức ( 1 ) ta có: H A² = 15² - 9² = 12² ⇔ HA = 12( cm )

Áp dụng tính chất đường phân giác AD vào tam giác AHB, ta được:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

Áp dụng tính chất đường chất đường phân giác AE của tam giác ACH, ta được:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

Bài 5: Cho tam giác ABC có BC = a; CA = b; AB = c. Các đường phân giác AD, BE, CF cắt nhau tại I. Chứng minh rằng:

Hướng dẫn:

a) Áp dụng tính chất đường phân giác AD và BI và tam giác ABC và tam giác ABD.

Ta có: DI/IA = DB/AB = BD/c    ( 1 )

Thay ( 2 ) vào ( 1 ) ta được:

Suy ra: 

b) Chứng minh tương tự như câu a, ta được:

Công theo vế các đẳng thức ( 3 ),( 4 ),( 5 ) ta được: