Bài 30: Hình bình hành

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa

Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song

Tứ giác ABCD là hình bình hành ⇔

Chú ý đặc biệt: Hình bình hành là một hình thang đặc biệt (hình bình hành là hình thang có hai cạnh bên song song)

2. Tính chất hình bình hành

Định lí: Trong hình bình hành:

+ Các cạnh đối bằng nhau.

+ Các góc đối bằng nhau.

+ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

3. Dấu hiệu nhận biết hình bình hành

+ Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.

+ Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.

+ Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

+ Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.

+ Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. Chứng minh BE = DF và ABEˆ = CDFˆ .

Hướng dẫn:

Xét tứ giác BEDF có

⇒ BEDF là hình bình hành

⇒ BE = DF (hai cạnh đối song song và bằng nhau)

Ta có: ABCD là hình bình hành nên BADˆ = BCDˆ       ( 1 )

BEDF là hình bình hành nên BEDˆ = DFBˆ       ( 2 )

Mà

Từ ( 2 ) và ( 3 ) ⇒ AEBˆ = DFCˆ       ( 4 )

Xét Δ ABE có BAEˆ + AEBˆ + ABEˆ = 180⁰      (5)

Xét Δ DFC có DFCˆ + FCDˆ + FDCˆ = 180⁰      (5)

Từ ( 1 ), ( 4 ), ( 5 ) ⇒ ABEˆ = CDFˆ (đpcm)

4. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có H, K lần lượt là các chân đường cao kẻ từ đỉnh A,C xuống BD.

a) Chứng minh AHCK là hình bình hành.

b) Gọi O là trung điểm của HK. Chứng minh A, O, C thẳng hàng.

Hướng dẫn:

a) Từ giả thiết ta có: ⇒ AH//CK.      ( 1 )

Áp dụng tính chất về cạnh của hình bình hành và tính chất của các góc so le ta có:

 ⇒ Δ ADH = Δ CBK

(trường hợp cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ AH = CK (cạnh tương tứng bằng nhau)       ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có tứ giác AHCK có cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

b) Áp dụng tính chất đường chéo của hình bình hành AHCK

Hình bình hành AHCK có hai đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Do O là trung điểm của HK nên O cũng là trung điểm của AC

⇒ A, O, C thẳng hàng.

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AB, CD. Đường chéo BD cắt AK, AI lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng:

a) AK//CI

b) DM = MN = NB

Hướng dẫn:

a) Áp dụng định nghĩa, tính chất và theo giả thiết của hình bình hành, ta có:

Tứ giác AICK có cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên AICK là hình bình hành.

b) Theo câu a, AICK là hình bình hành

⇒ AK//CI. Khi đó , ta có:

Mặt khác, ta lại có: AI = IB, CK = KD theo giải thiết:

ÁP dụng định lý đường trung bình vào tam giác ABM, DCN ta có:

 ⇒ DM = MN = NB

B. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Chọn phương án sai trong các phương án sau?

   A. Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.

   B. Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.

   C. Tứ giác có hai góc đối bằng nhau là hình bình hành.

   D. Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

Đáp án

Bài 2: Chọn phương án đúng trong các phương án sau.

   A. Hình bình hành là tứ giác có hai cạnh đối song song.

   B. Hình bình hành là tứ giác có các góc bằng nhau.

   C. Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.

   D. Hình bình hành là hình thang có hai cạnh kề bằng nhau.

Đáp án

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có Aˆ = 120⁰, các góc còn lại của hình bình hành là?

   A. Bˆ = 60⁰, Cˆ = 120⁰, Dˆ = 60⁰.

   B. Bˆ = 110⁰, Cˆ = 80⁰, Dˆ = 60⁰.

   C. Bˆ = 80⁰, Cˆ = 120⁰, Dˆ = 80⁰.

   D. Bˆ = 120⁰, Cˆ = 60⁰, Dˆ = 120⁰.

Đáp án

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có Aˆ - Bˆ = 20⁰. Xác định số đo góc A và B?

   A. Aˆ = 80⁰, Bˆ = 100⁰

   B. Aˆ = 100⁰, Bˆ = 80⁰

   C. Aˆ = 80⁰, Bˆ = 60⁰

   D. Aˆ = 120⁰, Bˆ = 100⁰

Đáp án

Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, có I là giao điểm của AC và BD. Chọn phương án đúng trong các phương án sau

   A. AC = BD

   B. Δ ABD cân tại A.

   C. BI là đường trung tuyến của Δ ABC

   D. Aˆ + Cˆ = Bˆ + Dˆ.

Đáp án

Bài 6: Cho tam giác ABC có M, N và P lần lượt là trung điểm AB, AC và BC. Tìm khẳng định sai ?

A. Tứ giác AMNP là hình bình hành.

B. MP // AC

C. MN = BC/2

D. Tứ giác MNCP là hình bình hành.

Đáp án

Bài 7: Cho hình thang ABCD có AD// BC và ∠BAD = 100^o; ∠ADC = 80^o. Tìm khẳng định sai

A. AB = CD; AD = BC

B. Tứ giác ABCD là hình bình hành

C. 

D. AC = BD

Đáp án

* Ta có: 

Và 2 góc này ở vị trí trong cùng phía nên AB// CD (1)

* Lại có: AD// BC ( giả thiết) (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

* Suy ra: AB = CD; AD = BC;

Chọn đáp án D

Bài 8: Cho hình bình hành ABCD, gọi E và F là trung điểm của AD và BC. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Tìm khẳng định sai?

A. Tứ giác ABFE là hình bình hành

B. EI là đường trung bình của tam giác ACD

C. AI = ID

D. Tứ giác EFCD là hình bình hành

Đáp án

* Ta có ABCD là hình bình hành nên AB = CD; ABCD đồng thời là hình thang có 2 đáy là AB và CD.

Vì E và F lần lượt là trung điểm của AD và BC nên EF là đường trung bình của hình thang ABCD

Suy ra: EF// AB// CD và

(vì AB = CD)

* Xét tứ giác ABFE có AB// EF và AE// BF nên ABFE là hình bình hành

Tương tự, tứ giác EFCD là hình bình hành.

* Theo tính chất hình bình hành ta có: I là trung điểm của AC và BD.

Tam giác ACD có E và I lần lượt là trung điểm của AD và AC nên EI là đường trung bình của tam giác

Chọn đáp án C

Bài 9: Cho hình bình hành ABCD có  Tìm khẳng định sai?

A. Tứ giác HKCD là hình bình hành.

B. AC = DK

C. ΔDHA = ΔCKB

D. HA = KB

Đáp án

* Ta có: 

nên DH // CK.

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD hay HK// CD.

Xét tứ giác HKCD có: DH// CK và HK// CD nên tứ giác HKCD là hình bình hành.

* Xét ΔDHA và ΔCKB có:

DH = CK (vì HKCD là hình bình hành)

AD = BC (vì ABCD là hình bình hành)

Suy ra: ΔDHA = ΔCKB (c.g.c)

Suy ra: HA = KB ( 2 cạnh tương ứng)

Chọn đáp án B

Bài 10: Cho tứ giác ABCD có: ∠A = 100^o, ∠D = 80^o và AB = CD. Tìm khẳng định sai?

A. AC = BD

B. Tứ giác ABCD là hình bình hành

C. AD = BC

D. ∠B = 80^o, ∠C = 100^o

Đáp án