Bài 15: Tính chất cơ bản của phân thức

A. Lý thuyết

1. Tính chất cơ bản của phân thức

+ Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

 (M là một đa thức khác đa thức 0)

+ Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

 (M là một đa thức khác đa thức 0)

Ví dụ: Cho phân thức (2x)/(x + 2). Nhân cả tử và mẫu với đa thức ( x - 1 ), so sánh phân thức nhận được với phân thức đã cho ?

Hướng dẫn:

Ta có phân thức mới là 

Ta có  = (2x)/(x + 2) vì 2x( x - 1 ).( x + 2 ) = 2x.( x + 2 )( x - 1 ).

2. Quy tắc đổi dấu

Ta có thể viết như sau: 

Ví dụ: Ta có phân thức . Đổi dấu cả tử và mẫu ta được phân thức mới, so sánh phân thức mới với phân thức đã cho

Hướng dẫn:

Ta có phân thức mới nhận được là.

Ta có: = vì x. - ( x + 1 ) = - x.( x + 1 ).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1: Hai phân thức sau có bằng nhau không ?

a, (x² - 2x)/(x² - 4) và x/(x + 2).

b, (x + 1)/(x + 3) và (x² + 3x + 2)/(x² - x - 6)

Hướng dẫn:

a) Ta có: ( x² - 2x )( x + 2 ) = x( x - 2 )( x + 2 ).

Mà x( x² - 4 ) = x( x - 2 )( x + 2 )

Vậy hai phân thức đó bằng nhau.

b) Ta có ( x + 1 )( x² - x - 6 ) = ( x + 1 )( x - 3 )( x + 2 ).

Nhưng ( x + 3 )( x² + 3x + 2 ) = ( x + 2 )( x + 1 )( x + 3 )

Vậy hai phân thức đó không bằng nhau.

Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau:

a, (x³ - 1)/(x - 1) = x² + x + 1

b, (x⁵ - 1)/(x² - 1) = (x⁴ + x³ + x² + x + 1)/(x + 1)

Hướng dẫn:

a) Ta có: = x² + x + 1

⇒ (x³ - 1)/(x - 1) = x² + x + 1 (đpcm).

b) Ta có: ( x⁵ - 1 )( x + 1 ) = x⁶ + x⁵ - x - 1

Mặt khác, ta có: ( x² - 1 )( x⁴ + x³ + x² + x + 1 ) = ( x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² ) - ( x⁴ + x³ + x² + x + 1 )

= x⁶ + x⁵ - x - 1.

⇒ (x⁵ - 1)/(x² - 1) = (x⁴ + x³ + x² + x + 1)/(x + 1) (đpcm)

B. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Cho phân thức 2/(x - 1), nhân cả tử và mẫu với đa thức ( x + 1 ) ta được phân thức mới là ?

Đáp án

Bài 2: Với giá trị nào của x thì hai phân thức (x - 2)/(x² - 5x + 6) và 1/(x - 3) bằng nhau ?

   A. x = 2   B. x = 3

   C. x ≠ 2, x ≠ 3.   D. x = 0.

Đáp án

Bài 3: Phân thức 2/(x + 3) bằng với phân thưc nào dưới đây ?

Đáp án

Bài 4: Điền vào chỗ trống đa thức sao cho:

   A. x² - 4x.

   B. x² + 4x.

   C. x² + 4.

   D. x² - 4.

Đáp án

Bài 5: Dùng quy tắc đổi dấu, hãy điền đa thức thích hợp vào chỗ trống để được đẳng thức:

   A. 2y- x     B. x – 2y

   C. 2y + x     D. – 2y – x

Đáp án

Áp dụng quy tắc đổi dấu ta có:

Vậy đa thức cần điền là x – 2y

Chọn đáp án B

Bài 6: Áp dụng tính chất cơ bản của phân số, điền đa thức thích hợp vào chỗ trống

   A. 2y(x – y)     B. y(x + y)

   C. 2x(x + y)     D. 2y (x + y)

Đáp án

Ta có:

Vậy đa thức cần điền vào chỗ trống là 2y(x+ y)

Chọn đáp án D

Bài 7: Điền đa thức thích hợp vào chỗ trống sau:

   A. 5xy     B.5x

   C. 5y     D. 5x²y

Đáp án

Ta có:

Vậy đa thức cần điền là: 5xy

Chọn đáp án A

Bài 8: Điền đa thức thích hợp vào chỗ trống sau:

   A. 10x - 10y     B. 10 - 10x

   C. 10.(1 – xy)     D. Đáp án khác

Đáp án

Ta có:

Vậy đa thức cần điềm vào chỗ chấm là: 10(1 - xy )

Chọn đáp án C

Bài 9: Tìm a biết:

   A. a = 2     B. a = 1

   C. a = 4     D. a = - 2

Đáp án

Mà  nên a = 2

Chọn đáp án A

Bài 10: Dùng quy tắc đổi dấu, điền đa thức thích hợp vào chỗ trống

   A. x – 1     B. xy – 1

   C. x(y – 1)     D. x(x – 1)

Đáp án

Chọn đáp án D