Phương pháp đường tròn hỗn hợp trong dao động điều hòa hay, chi tiết

1. Phương pháp

Cùng một dao động: x = Acos(ωt + φ)

v = v_maxcos(ωt + φ + π/2 ), v_max = Aω.

a = a_maxcos(ωt + φ + π ), a_max = Aω².

F = F_maxcos(ωt + φ + π), F_max = m.a_max = mω²A.

Biểu diễn các đại lượng dao động điều hòa trên cùng một đường tròn có 2 cách là đa điểm hoặc đa trục. Tùy vào từng bài toán mà ta áp dụng đường tròn nào cho phù hợp.

2. Ví dụ

Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 4cos(πt + π/3), với x tính bằng cm và t tính bằng giây. Thời điểm vận tốc của chất điểm đạt giá trị -2π cm/s lần thứ 7 là

A. 6,5 s.          B. 4,5 s.          C. 2,5 s.          D. 6,75 s.

Hướng dẫn:

Xác định “thời điểm” ⇒ dùng đường tròn đa điểm với 1 trục x,v : A = 4cm, v_max = 4π cm/s.

Thời điểm ban đầu của ly độ là M_ox. Do vận tốc nhanh pha π/2 so với li độ Thời điểm ban đầu của vận tốc là M_ov, đứng trước M_ox góc π/2.

Vận tốc -2π cm/s tương ứng với M₁ và M₂ trên đường tròn.

N = 7 = 3.2 + 1 lần,

α = 3.2π + π/2 ⇒ t = 3T + T/4 = 6,5 s.

Ví dụ 2: Một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ bằng 2 cm và tần số bằng 2 Hz. Lấy gần đúng π² = 10. Thời gian ngắn nhất tính từ thời điểm vật có vận tốc bằng 4π cm/s đến thời điểm vật có gia tốc bằng 1,6 m/s² là

A. 1/6 s.          B. 1/12 s.          C. 1/24 s.          D. 1/18 s.

Hướng dẫn:

Xác định “ khoảng thời gian” ⇒ dùng đường tròn đa trục.

f = 2 Hz ω = 4π rad/s, A = 2 cm, v_max = 8π cm/s, a_max = 32 m/s².

v = 4π cm/s tại M, a = 1,6 m/s² tại N.

Từ M đến N có thể đi theo các cung M₁N₁, M₁N₂, M₂N₁, M₂N₂.

Cung M₁N₁ thì Δφ_min = π/6

Δt_min = 1/24 s.

Ví dụ 3: Một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ 2 cm và tần số bằng 0,5 Hz. Lấy gần đúng π² = 10. Trong một chu kì khoảng thời gian vật có vận tốc nhỏ hơn √2.π cm/s và gia tốc lớn hơn 10 cm/s² bằng

A. 7/24 s.          B. 5/12 s.

C. 7/12 s.          D. 5/24 s.

Hướng dẫn:

f = 0,5 Hz ⇒ ω = π rad/s, A = 2 cm, v_max = 2π cm/s, a_max = 20 cm/s².

v = π√2 cm/s tại M ⇒ v < π√2 cm/s ứng với cung lớn M₁M₂ (không tô đậm).

a = 10 cm/s² tại N, a > 10 cm/s² ứng với cung nhỏ N₁N₂ (không tô đậm).

Cung N₂M₁ không tô đậm thỏa mãn cả 2 điều kiện của v và a :

Δφ = 7π/12 ⇒ Δt = 7/12 s.