Cách tìm thời điểm vật qua vị trí x lần thứ n

1. Phương pháp

- Phương trình dao động có dạng: x = Acos(ωt + φ) cm.

- Phương trình vận tốc có dạng: v = -ωAsin(ωt + φ) cm/s.

Phương pháp chung:

a) Khi vật qua li độ x₁ thì:

x₁ = Acos(ωt + φ) ⇒ cos(ωt + φ) =  = cosb ⇒ ωt + φ = ±b + k2π

+  với k ∈ N khi b – φ > 0 (v < 0) vật qua x₀ theo chiều âm.

+  với k ∈ N* khi –b – φ < 0 (v > 0) vật qua x₀ theo chiều dương.

Kết hợp với điều kiện của bài toán ta loại bớt đi một nghiệm.

Lưu ý : Ta có thể dựa vào “ mối liên hệ giữa DĐĐH và CĐTĐ ”. Thông qua các bước sau:

• Bước 1: Vẽ đường tròn có bán kính R = A (biên độ) và trục Ox nằm ngang.

• Bước 2: – Xác định vị trí vật lúc t = 0 thì 

              - Xác định vị trí vật lúc t (x₁ đã biết)

• Bước 3: Xác định góc quét Δφ =  = ?

• Bước 4: 

b) Khi vật đạt vận tốc v₁ thì:

Lưu ý:

+ Đề ra thường cho giá trị n nhỏ, còn nếu n lớn thì tìm quy luật để suy ra nghiệm thứ n.

+ Có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều.

+ Dùng sơ đồ này có thể giải nhanh về thời gian chuyển động, quãng đường đi được trong thời gian Δt, quãng đường đi tối đa, tối thiểu….

+ Có thể áp dụng được cho dao động điện, dao động điện từ.

+ Khi áp dụng cần có kỹ năng biến đổi thời gian đề cho Δt liên hệ với chu kỳ T. và chú ý chúng đối xứng nhau qua gốc tọa độ.

2. Ví dụ :

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình  cm. Xác định thời điểm đầu tiên vật đi qua vị trí có li độ x = 5 cm theo chiều ngược chiều với chiều dương kể từ thời điểm t = 0.

Hướng dẫn:

Vì v < 0 nên ta chọn nghiệm:

10πt + π/2 = 0,42π + 2kπ → t = - 0,008 + 0,2k; với k ∈ Z.

Nghiệm dương nhỏ nhất trong họ nghiệm này (ứng với k = 1) là t = 0,192 s.

Chọn đáp án A

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với phương trình  cm. Xác định thời điểm gần nhất vận tốc của vật bằng 20π√3 cm/s và đang tăng kể từ lúc t = 0.

A. 1/6s    B. 1/7s    C. 1/8s    D. 1/9s

Hướng dẫn:

Vì v đang tăng nên: 10πt + π/6 = –π/6 + 2kπ → t = –1/30 + 0,2k.

Với k ∈ Z. Nghiệm dương nhỏ nhất trong họ nghiệm này là t = 1/6 s, ứng với k = 1.

Chọn đáp án A.

Ví dụ 3: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình  (x tính bằng cm; t tính bằng s). Kể từ t = 0, chất điểm đi qua vị trí có li độ x = – 2 cm lần thứ 2011 tại thời điểm ?

A. 3015 s.    B. 6030 s.    C. 3016 s    D. 6031 s.

Hướng dẫn:

Cách 1: Từ phương trình  ta nhận thấy lúc t = 0, x₀ = 4 cm, v₀ = 0. Vật qua x = – 2 là qua M₁ và M₂. Vật quay 1 vòng qua x = – 2 là 2 lần, qua lần thứ 2011 thì phải quay 1005 vòng (ứng với 2010 lần) rồi đi từ M0 đến M₁ để thêm 1 lần nữa là 2011 lần.

Khi đó, góc quét:

Vậy: 

Chọn đáp án C

Cách 2: Giải phương trình lượng giác  . Theo đề bài ta có:

Từ (*) ta nhận thấy:

    + Lần thứ 1 ứng với m = 0.

    + Lần thứ 2 ứng với n = 1.

    + Lần thứ 3 ứng với m = 1.

    ……………………………

    + Lần thứ 2011 ứng với m = 1005.

Khi đó, ta có: t = 1 + 3m = 1 + 3.1005 = 3016 s.

Chọn đáp án C

Cách giải 3:

Ta nhận thấy vật đi qua vị trí có li độ x = - 2 cm lần thứ 2011 (n = 2011) nên n lẻ, khi đó ta có: 

Với  là khoảng thời gian vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí x = - 2 lần thứ nhất.

Vậy: 

Chọn đáp án C

Chú ý: Dạng bài toán tính thời điểm vật đi qua vị trí đã biết x (hoặc v, a, W_t, W_đ, F) lần thứ n ta có thể tính theo các công thức sau:

+  nếu n là lẻ. Với t₁ là khoảng thời gian vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí x lần thứ nhất.

+  nếu n là chẵn. Với t₂ là khoảng thời gian vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí x lần thứ hai.