Cách Viết phương trình dao động điều hòa

Phần 1: Viết phương trình dao động của vật khi VTCB nằm tại gốc tọa độ

1. Phương pháp

- Tìm A:

Trong đó:

- L là chiều dài quỹ đạo của dao động

- S là quãng đường vật đi được trong một chu kỳ

- Tìm ω:

- Tìm φ

Cách 1: Dựa vào t = 0 ta có hệ sau:

(Lưu ý: v.φ < 0)

Cách 2: Sử dụng vòng tròn lượng giác (VLG)

Góc Φ là góc hợp bởi giữa trục Ox và OM tại thời điểm ban đầu.

Bước 3: Thay kết quả vào phương trình: x = Acos(ωt + Φ ) được phương trình dao động điều hòa của vật.

2. Ví dụ

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 5cm, Trong 10 giây vật thực hiện được 20 dao động. Xác định phương trình dao động của vật biết rằng tại thời điểm ban đầu vật tại ví trí cân bằng theo chiều dương.

Hướng dẫn:

Cách 1: Ta có: Phương trình dao động của vật có dạng: x = A.cos(ωt + φ) cm

Trong đó:

- A = 5 cm

- f = N/t = 20/10 = 2 Hz → ω = 2πf = 4π (rad/s).

- Tại t = 0 s vật đang ở vị trí cân bằng theo chiều dương

→ Phương trình dao động của vật là: x = 5cos(4πt - π/2)cm

Cách 2: Tìm φ:

- Tại t = 0 s vật đang ở vị trí cân bằng theo chiều dương (v > 0) → Φ < 0 → Chọn B

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 6cm, Biết cứ 2s vật thực hiện được một dao động, tại thời điểm ban đầu vật đang ở vị trí biên dương. Xác định phương trình dao động của vật.

Hướng dẫn:

Cách 1: Phương trình dao động của vật có dạng: x = A cos(ωt + φ) cm

Trong đó:

- A = L/2 = 3cm.

- T = 2 s

- ω = 2π/T = π (rad/s).

Tại t = 0s vật đang ở vị trí biên dương

Vậy phương trình dao động của vật là: x = 3cos(πt) cm

Cách 2: Tìm Φ:

- Tại t = 0s vật đang ở vị trí biên dương

⇒ Loại A, C còn lại B, D khác nhau biên độ A

- Tìm A = L/2 = 3cm

Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa với vận tốc khi đi qua vị trí cân bằng là v = 20cm/s. Khi vật đến vị trí biên thì có giá trị của gia tốc là a = 200 cm/s². Chọn gốc thời gian là lúc vận tốc của vật đạt giá trị cực đại theo chiều dương

Hướng dẫn:

Cách 1: Phương trình dao động có dạng: x = A cos(ωt + φ) cm.

Trong đó:

- v_max = A.ω = 20 cm/s

- a_max = A.ω² = 200 cm/s²

- Tại t = 0 s vật có vận tốc cực đại theo chiều dương

Vậy phương trình dao động là: x = 2cos(10t - π/2 ) cm.

Cách 2: Tìm Φ

- Tại t = 0 s vật có vận tốc cực đại theo chiều dương (v > 0) ⇒ Φ < 0

⇒ Loại A, D còn lại B, C khác nhau ω

Ví dụ 4: Một vật dao động điều hòa với tần số góc 10π rad/s, tại thời điểm t = 0 vật đi qua vị trí có li độ x = 2√2π cm thì vận tốc của vật là 20√2 cm/s. Xác định phương trình dao động của vật?

Hướng dẫn:

- Tại t = 0 s vật có vận tốc v = 20√2 π > 0 ⇒ Φ < 0

⇒ Loại B, C còn lại A, D khác nhau A

Phần 2: Viết phương trình dao động của vật có VTCB nằm ngoài gốc tọa độ

1. Phương pháp

Nếu dịch chuyển trục Ox sao cho vị trí cân bằng có tọa độ x_o, khi đó biên dương là A + x, biên âm là –A + x_o. Áp dụng phép di chuyển trục tọa độ ta có:

Phương trình tọa độ của vật:

x = Acos( ωt + φ) + x_o

+ x là tọa độ của vật

+ Acos( ωt + φ) là li độ của vật

+ x_o là tọa độ của VTCB

2. Ví dụ

Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox, quỹ đạo của chất điểm nằm trong khoảng từ tọa độ -1 cm đến + 7 cm. Thời gian chất điểm đi từ tọa độ + 3 cm đến + 5 cm bằng 1/6 s. Thời điểm ban đầu, t = 0 được chọn lúc chất điểm đi qua vị trí tọa độ + 1 cm theo chiều âm. Phương trình dao động của chất điểm là

Hướng dẫn:

Vẽ đường tròn mô tả dao động điều hòa từ –1cm đến 7 cm thì VTCB của vật có tọa độ x_o = + 3 cm.

Chất điểm đi từ 3 cm ⇒ 5cm: tương đương quay trên đường tròn góc

Vật đi từ -1 cm ⇒ + 7 cm nên độ dài quĩ đạo L = 8cm = 2A ⇒ A = 4cm.

Lúc t = 0, x = 1 cm theo chiều âm: dựng đường vuông góc với trục Ox tại 1cm và lấy điểm trên đường tròn. Suy ra, xác định được góc φ = 2π/3 rad.

⇒ Phương trình: x = Acos(ωt + φ) + x_o

x = 4cos(πt – 2π/3) + 3 cm.