Giải bài tập Toán 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ

1. Tích của một số với một vectơ và các tính chất

Khám phá 1 trang 94 Toán lớp 10 Tập 1: Cho vectơ $\overrightarrow{a}$. Hãy xác định độ dài và hướng của hai vectơ  $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a},\left(-\overrightarrow{a}\right)+\left(-\overrightarrow{a}\right)$  (Hình 1).

Lời giải:

Vectơ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}$ có hướng từ A sang C.

Vectơ $\left(-\overrightarrow{a}\right)+\left(-\overrightarrow{a}\right)$ có hướng từ D sang F.

Thực hành 1 trang 95 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$  và một điểm M như Hình 3.

a) Hãy vẽ các vectơ $\overrightarrow{MN}=3\overrightarrow{a},\overrightarrow{MP}=-3\overrightarrow{b}$ .

b) Cho biết mỗi ô vuông có cạnh bằng 1. Tính: $\left|3\overrightarrow{b}\right|,\left|-3\overrightarrow{b}\right|,\left|2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right|$.

Lời giải:

a) Ta thấy 3 > 0 nên hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{a}$ cùng hướng.

Do đó từ M kẻ đường thẳng d song song với đường thẳng a.

Trên đường thẳng d, về bên phải điểm M chọn điểm N sao cho MN = 6.

Khi đó $\overrightarrow{MN}=3\overrightarrow{a}$.

Do -3 < 0 nên hai vectơ $\overrightarrow{MP}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng.

Do đó từ M kẻ đường thẳng c song song với đường thẳng b.

Trên đường thẳng c, về bên trái điểm M chọn P sao cho MP = 3.

Khi đó $\overrightarrow{MP}=-3\overrightarrow{b}$.

Ta có hình vẽ như sau:

b) Ta thấy MP là độ dài cạnh huyền của 1 tam giác vuông cân có cạnh bằng 3.

Do đó MP = $\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$.

Ta thấy $3\overrightarrow{b}$ và $-3\overrightarrow{b}$ là hai vectơ đối nên $\left|3\overrightarrow{b}\right|=\left|-3\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{MP}\right|=3\sqrt{2}$.

Ta thấy $\left|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\right|$ là độ cạnh huyền của 1 tam giác vuông có độ dài 2 cạnh góc vuông lần lượt là 1 và 3.

Khi đó $\left|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$.

Do đó $\left|2\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{a}\right|=\left|2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right|=2\sqrt{10}$.

Vậy $\left|3\overrightarrow{b}\right|=\left|-3\overrightarrow{b}\right|=3\sqrt{2}$; $\left|2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right|=2\sqrt{10}$.

Thực hành 2 trang 95 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$.

Lời giải:

Phần thuận: G là trọng tâm của tam giác ABC thì $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$.

Chứng minh:

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

Do đó $\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{MG}$ hay $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$.

Phần đảo: Tam giác ABC có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$ thì G là trọng tâm của tam giác ABC.

Chứng minh:

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{MG}$

$\Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

Dựng hình bình hành GBDC và gọi I là giao điểm của GD và BC.

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{G\text{D}}$.

Mà $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ hay $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$.

Do đó $\overrightarrow{GA}=-\overrightarrow{GD}$.

Khi đó $\left|\overrightarrow{GA}\right|=\left|-\overrightarrow{G\text{D}}\right|$ hay GA = GD.

Hình bình hành GBDC có I là giao điểm hai đường chéo GD và BC nên I là trung điểm của BC và I là trung điểm của GD.

Do I là trung điểm của GD nên GI = $\frac{1}{2}$GD = $\frac{1}{2}$GA.

GI = $\frac{1}{2}$GA nên AI = GI + GA = $\frac{1}{2}$GA + GA = $\frac{3}{2}$GA hay AG = $\frac{2}{3}$AI.

Tam giác ABC có AI là đường trung tuyến, lại có AG = $\frac{2}{3}$AI nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Vận dụng trang 95 Toán lớp 10 Tập 1: Một con tàu chở hàng A đang đi về hướng tây với tốc độ 20 hải lí/giờ. Cùng lúc đó, một con tàu chở khách B đang đi về hướng đông với tốc độ 50 hải lí/giờ. Biểu diễn vectơ vận tốc $\overrightarrow{b}$ của tàu B theo vectơ vận tốc $\overrightarrow{a}$ của tàu A.

Lời giải:

Ta thấy hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng và $\left|\overrightarrow{b}\right|=50;\left|\overrightarrow{a}\right|=20$.

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{b}\right|=\frac{5}{2}\left|\overrightarrow{a}\right|$.

Vậy $\overrightarrow{b}=\frac{-5}{2}\overrightarrow{a}$.

2. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Khám phá 2 trang 96 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương, $\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ và cho $\overrightarrow{c}=\frac{\left|\overrightarrow{a}\right|}{\left|\overrightarrow{b}\right|}.\overrightarrow{b}$. So sánh độ dài và hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$.

Lời giải:

Ta thấy với $\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ thì $\frac{\left|\overrightarrow{a}\right|}{\left|\overrightarrow{b}\right|}$ ≥ 0.

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{c}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ cùng hướng.

Mà $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ cùng phương nên hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$ cùng hướng khi hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng; hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$ ngược hướng khi hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng.

Do $\overrightarrow{c}=\frac{\left|\overrightarrow{a}\right|}{\left|\overrightarrow{b}\right|}.\overrightarrow{b}$ nên $\left|\overrightarrow{c}\right|=\left|\frac{\left|\overrightarrow{a}\right|}{\left|\overrightarrow{b}\right|}.\overrightarrow{b}\right|=\frac{\left|\overrightarrow{a}\right|}{\left|\overrightarrow{b}\right|}.\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|$.

Do đó độ dài của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$ bằng nhau.

Thực hành 3 trang 96 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Cho điểm G thỏa mãn $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$. Chứng minh ba điểm I, G, J thẳng hàng.

Lời giải:

Do I là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GI}$.

Do J là trung điểm của CD nên $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GJ}$.

Do đó $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GI}+2\overrightarrow{GJ}$ hay $\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{GJ}=\overrightarrow{0}$.

Do $\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{GJ}=\overrightarrow{0}$ nên G là trung điểm của IJ.

Vậy I, G, J thẳng hàng.

Bài tập

Bài 1 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Với M là điểm tùy ý, chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$;

b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AC}$.

Lời giải:

a) Hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo nên OA = OC, OB = OD.

Khi đó $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OC}$ là hai vectơ đối, $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{OD}$ là hai vectơ đối.

Do đó $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$.

Ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{M\text{D}}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GD}$

$=4\overrightarrow{MG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}\right)$

$=4\overrightarrow{MG}$

Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{M\text{D}}=4\overrightarrow{MO}$.

b) Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A\text{D}}=\overrightarrow{AC}$.

Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A\text{D}}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}$ hay $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A\text{D}}=2\overrightarrow{AC}$.

Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A\text{D}}=2\overrightarrow{AC}$.

Bài 2 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{MN}$;

b) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}$.

Lời giải:

a) Gọi O là giao điểm hai đường chéo của tứ giác ABCD.

Do M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OM}$.

Do đó $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}=2\overrightarrow{MO}$.

Do N là trung điểm của CD nên $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{ON}$.

Do đó $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{MO}+2\overrightarrow{ON}$.

hay $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{MN}$.

Do đó $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B\text{D}}=2\overrightarrow{MN}$.

b) Ta có $\overrightarrow{A\text{D}}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C\text{D}}$

Do đó $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{A\text{D}}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C\text{D}}=\overrightarrow{AC}+\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C\text{D}}\right)=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B\text{D}}$.

Vậy $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B\text{D}}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{A\text{D}}$.

Bài 3 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định điểm M sao cho $\overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$.

Lời giải:

Do $\overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$ nên $\overrightarrow{MA}=-4\overrightarrow{MB}$ do đó $\left|\overrightarrow{MA}\right|=\left|-4\right|\left|\overrightarrow{MB}\right|=4\left|\overrightarrow{MB}\right|$ hay MA = 4MB.

Ta thấy -4 < 0 nên hai vectơ $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng.

Do đó A và B nằm ở hai phía so với điểm M.

Ta thực hiện vẽ như sau:

Bước 1. Vẽ đường thẳng d, trên đường thẳng d xác định hai điểm M và B.

Bước 2. Trên đường thẳng d, xác định điểm A sao cho A và B nằm ở hai phía so với điểm M thỏa mãn MA = 4MB.

Ta có hình vẽ như sau:

Bài 4 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, EF. Lấy điểm M tùy ý, chứng minh rằng $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MG}$.

Lời giải:

Do E là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GE}$.

Do F là trung điểm của CD nên $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GF}$.

Do G là trung điểm của EF nên $\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{0}$.

Do đó $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GE}+2\overrightarrow{GF}=2\left(\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GF}\right)=\overrightarrow{0}$.

Ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{M\text{D}}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GD}$

$=4\overrightarrow{MG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}\right)$

$=4\overrightarrow{MG}$

Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{M\text{D}}=4\overrightarrow{MG}$.

Bài 5 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Máy bay A đang bay về hướng đông bắc với tốc độ 600 km/h. Cùng lúc đó, máy bay B đang bay về hướng tây nam với tốc độ 800 km/h. Biểu diễn vectơ vận tốc $\overrightarrow{b}$ của máy bay B theo vectơ vận tốc $\overrightarrow{a}$ của máy bay A.

Lời giải:

Ta thấy hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng và $\left|\overrightarrow{a}\right|$ = 600, $\left|\overrightarrow{b}\right|$ = 800.

Do đó $\left|\overrightarrow{b}\right|=\frac{800}{600}\left|\overrightarrow{a}\right|=\frac{4}{3}\left|\overrightarrow{a}\right|$ hay b = $\frac{4}{3}$a.

Mà hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng nên $\overrightarrow{b}=-\frac{4}{3}\overrightarrow{a}$.

Vậy $\overrightarrow{b}=-\frac{4}{3}\overrightarrow{a}$.

Bài 6 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai điểm phân biệt A và B.

a) Xác định điểm O sao cho $\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}$.

b) Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có $\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=4\overrightarrow{MO}$.

Lời giải:

a) Do $\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}$ nên $\overrightarrow{OA}=-3\overrightarrow{OB}$ do đó $\left|\overrightarrow{OA}\right|=\left|-3\right|\left|\overrightarrow{OB}\right|=3\left|\overrightarrow{OB}\right|$ hay OA = 3OB.

Ta thấy -3 < 0 nên hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ ngược hướng.

Do đó A và B nằm ở hai phía so với điểm O.

Ta thực hiện vẽ như sau:

Bước 1. Vẽ đường thẳng d, trên đường thẳng d xác định hai điểm O và B.

Bước 2. Trên đường thẳng d, xác định điểm A sao cho A và B nằm ở hai phía so với điểm O thỏa mãn OA = 3OB.

Ta có hình vẽ như sau:

b)

Ta có $\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+3\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)=4\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=4\overrightarrow{MO}$.

Vậy $\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=4\overrightarrow{MO}$.

Bài 7 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC.

a) Xác định các điểm M, N, P thỏa mãn: $\overrightarrow{MB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{NB},\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{PA}$.

b) Biểu thị mỗi vectơ $\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}$.

c) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Lời giải:

a) Do $\overrightarrow{MB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng.

Do đó M và C nằm ở hai phía so với điểm B sao cho MB = $\frac{1}{2}$BC.

Do $\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{NB}$ nên $\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{NB}=4\overrightarrow{NB}$ hay $\overrightarrow{AB}=4\overrightarrow{NB}$.

Do đó A và N nằm cùng phía so với điểm B sao cho NB = $\frac{1}{4}$AB.

Do $\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{PA}$ nên $\overrightarrow{CP}+\overrightarrow{PA}=2\overrightarrow{PA}$ hay $\overrightarrow{CA}=2\overrightarrow{PA}$.

Do đó P và C nằm cùng phía so với điểm A sao cho PA = $\frac{1}{2}$CA.

Ta có hình vẽ sau:

b) Ta có $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{BM}$.

Do $\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{NB}$ nên $\overrightarrow{NA}=3\overrightarrow{BN}\Rightarrow \overrightarrow{BN}+\overrightarrow{NA}=4\overrightarrow{BN}$ hay $\overrightarrow{BA}=4\overrightarrow{BN}$.

Do đó $\overrightarrow{BN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BA}$.

Do $\overrightarrow{MB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{BM}=\frac{-1}{2}\overrightarrow{BC}$.

Do đó $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{BM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.

Ta có $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{BP}-\overrightarrow{BM}$.

Do đó P và C nằm cùng phía so với điểm A và PA = $\frac{1}{2}$CA nên P là trung điểm của CA.

Do đó $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BP}\Rightarrow \overrightarrow{BP}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)$.

Do đó $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{BP}-\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$.

Ta thấy $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$; $\overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{MN}$.

Do đó M, N, P thẳng hàng và N là trung điểm của MP.