Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi
Lời giải Thực hành 2 trang 95 Toán lớp 10 Tập 1 Toán 10 Tập 1 sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán lớp 10
Giải Toán lớp 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ
Thực hành 2 trang 95 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi →MA+→MB+→MC=3→MG.
Lời giải:
Phần thuận: G là trọng tâm của tam giác ABC thì →MA+→MB+→MC=3→MG.
Chứng minh:
Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên →GA+→GB+→GC=→0.
Do đó →MG+→GA+→MG+→GB+→MG+→GC=3→MG hay →MA+→MB+→MC=3→MG.
Phần đảo: Tam giác ABC có →MA+→MB+→MC=3→MG thì G là trọng tâm của tam giác ABC.
Chứng minh:
→MA+→MB+→MC=3→MG
⇒→MG+→GA+→MG+→GB+→MG+→GC=3→MG
⇒→GA+→GB+→GC=→0
Dựng hình bình hành GBDC và gọi I là giao điểm của GD và BC.
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có →GB+→GC=→GD.
Mà →GA+→GB+→GC=→0 hay →GA+→GD=→0.
Do đó →GA=−→GD.
Khi đó |→GA|=|−→GD| hay GA = GD.
Hình bình hành GBDC có I là giao điểm hai đường chéo GD và BC nên I là trung điểm của BC và I là trung điểm của GD.
Do I là trung điểm của GD nên GI = 12GD = 12GA.
GI = 12GA nên AI = GI + GA = 12GA + GA = 32GA hay AG = 23AI.
Tam giác ABC có AI là đường trung tuyến, lại có AG = 23AI nên G là trọng tâm của tam giác ABC.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
