Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi

Lời giải Thực hành 2 trang 95 Toán lớp 10 Tập 1 Toán 10 Tập 1 sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán lớp 10

642

« Trang trước

Trang sau »

Giải Toán lớp 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ

Thực hành 2 trang 95 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ .

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Phần thuận: G là trọng tâm của tam giác ABC thì $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ .

Chứng minh:

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ .

Do đó $\vec{M G} + \vec{G A} + \vec{M G} + \vec{G B} + \vec{M G} + \vec{G C} = 3 \vec{M G}$ hay $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ .

Phần đảo: Tam giác ABC có $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ thì G là trọng tâm của tam giác ABC.

Chứng minh:

$\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$

$\Rightarrow \vec{M G} + \vec{G A} + \vec{M G} + \vec{G B} + \vec{M G} + \vec{G C} = 3 \vec{M G}$

$\Rightarrow \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$

Dựng hình bình hành GBDC và gọi I là giao điểm của GD và BC.

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có $\vec{G B} + \vec{G C} = \vec{G D}$ .

Mà $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ hay $\vec{G A} + \vec{G D} = \vec{0}$ .

Do đó $\vec{G A} = - \vec{G D}$ .

Khi đó $|\vec{G A}| = |- \vec{G D}|$ hay GA = GD.

Hình bình hành GBDC có I là giao điểm hai đường chéo GD và BC nên I là trung điểm của BC và I là trung điểm của GD.

Do I là trung điểm của GD nên GI = $\frac{1}{2}$ GD = $\frac{1}{2}$ GA.

GI = $\frac{1}{2}$ GA nên AI = GI + GA = $\frac{1}{2}$ GA + GA = $\frac{3}{2}$ GA hay AG = $\frac{2}{3}$ AI.

Tam giác ABC có AI là đường trung tuyến, lại có AG = $\frac{2}{3}$ AI nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Vận dụng trang 95 Toán lớp 10 Tập 1: Một con tàu chở hàng A đang đi về hướng tây với tốc độ 20 hải lí/giờ

Khám phá 2 trang 96 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai

\vec{a}

và

\vec{b}

cùng phương,

\vec{b} ҂ \vec{0}

Thực hành 3 trang 96 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD

Bài 1 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Với M là điểm tùy ý

Bài 2 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD

642

« Trang trước

Trang sau »

Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi

Có thể bạn quan tâm