Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi

Lời giải Thực hành 2 trang 95 Toán lớp 10 Tập 1 Toán 10 Tập 1 sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán lớp 10 

245
« Trang trước
Chia sẻ
Trang sau »

Giải Toán lớp 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ

Thực hành 2 trang 95 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi MA→+MB→+MC→=3MG→.

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Phần thuận: G là trọng tâm của tam giác ABC thì MA→+MB→+MC→=3MG→.

Chứng minh:

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên GA→+GB→+GC→=0→.

Do đó MG→+GA→+MG→+GB→+MG→+GC→=3MG→ hay MA→+MB→+MC→=3MG→.

Phần đảo: Tam giác ABC có MA→+MB→+MC→=3MG→ thì G là trọng tâm của tam giác ABC.

Chứng minh:

MA→+MB→+MC→=3MG→

⇒MG→+GA→+MG→+GB→+MG→+GC→=3MG→

⇒GA→+GB→+GC→=0→

Dựng hình bình hành GBDC và gọi I là giao điểm của GD và BC.

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có GB→+GC→=GD→.

Mà GA→+GB→+GC→=0→ hay GA→+GD→=0→.

Do đó GA→=−GD→.

Khi đó GA→=−GD→ hay GA = GD.

Hình bình hành GBDC có I là giao điểm hai đường chéo GD và BC nên I là trung điểm của BC và I là trung điểm của GD.

Do I là trung điểm của GD nên GI = 12GD = 12GA.

GI = 12GA nên AI = GI + GA = 12GA + GA = 32GA hay AG = 23AI.

Tam giác ABC có AI là đường trung tuyến, lại có AG = 23AI nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài viết liên quan

245
« Trang trước
Chia sẻ
Trang sau »

Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Có thể bạn quan tâm

    Bài viết có lượt xem cao