Giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 1

Video giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 1

Bài tập

Bài 1 trang 27 Toán lớp 10 Tập 1: Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau:

a) {a} ∈ {a; b; c; d};

b) ∅ = {0};

c) {a; b; c; d} = {b; a; d; c};

d) {a; b; c} $\not\subset$ {a; b; c}.

Lời giải:

a) Mệnh đề (a) sai vì,{a} là tập hợp và là tập con của tập hợp {a; b; c; d} nên ta viết a} $\subset$ {a; b; c; d}.

b) Mệnh đề (b) sai vì, tập rỗng là tập không có phần tử nào nên $\varnothing$ ≠ {0};

c) Mệnh đề (c) đúng vì, tập {a; b; c; d} $\subset$ {b; a; d; c} và {b; a; d; c} $\subset${a; b; c; d} nên {a; b; c; d} = {b; a; d; c};

d) Mệnh đề (d) sai vì, các phần tử của tập {a; b; c} đều thuộc tập {a; b; c} nên {a; b; c}$\subset${a; b; c}

Bài 2 trang 27 Toán lớp 10 Tập 1: Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau:

a) Nếu 2a – 1 > 0 thì a > 0 (a là số thực cho trước);

b) a – 2 > b nếu và chỉ nếu a > b + 2 (a, b là hai số thực cho trước).

Lời giải:

a) Mệnh đề (a) đúng vì nếu 2a > 1 thì a > $\frac{1}{2}$ nên a > 0.

b) Mệnh đề (b) đúng vì, a – 2 > b $\iff$ a > b + 2 (theo tính chất của bất phương trình)

Bài 3 trang 27 Toán lớp 10 Tập 1: Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”, phát biểu lại các định lí sau:

a) Nếu B ⊂ A thì A ∪ B = A (A, B là hai tập hợp);

b) Nếu hình bình hành ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau thì nó là hình thoi.

Lời giải:

a) Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”:

“Để B $\subset$ A thì điều kiện cần là A$\cup$B = A (A, B là hai tập hợp)”

Sử dụng thuật ngữ “điều kiện đủ”:

“Để A$\cup$B = A thì điều kiện đủ là B $\subset$ A(A, B là hai tập hợp)”

b) sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”.

“Để hình bình hành ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau thì điều kiện cần là hinh bình hành ABCD là hình thoi”.

Sử dụng thuật ngữ “điều kiện đủ”

“Để hình bình hành ABCD là hình thoi thì điều kiện đủ là hình bình hành ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau”.

Bài 4 trang 27 Toán lớp 10 Tập 1: Cho định lí “∀x ∈ ℝ, x ∈ ℤ nếu và chỉ nếu x + 1 ∈ ℤ”. Phát biểu lại định lí này, sử dụng thuật ngữ “điều kiện vần và đủ”.

Lời giải:

Định lí trên được phát biểu như sau: “Với $\forall x\in ℝ$ để $x\in \mathbb{Z}$ thì điều kiện cần và đủ là x + 1 $\in$ ℤ”

Bài 5 trang 27 Toán lớp 10 Tập 1: Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) ∀x ∈ ℕ , x³ > x;

b) ∀x ∈ ℤ, x ∉ ℕ;

c) ∀x ∈ ℝ, nếu x ∈ ℤ thì x ∈ $\mathbb{Q}$ .

Lời giải:

a) Mệnh đề “$\forall x\in \mathbb{N}$, x³ > x” là mệnh đề sai vì, tồn tại x = 0 $\in \mathbb{N}$để 0³ = 0.

b) Mệnh đề $\exists x\in \mathbb{Z},x\notin \mathbb{N}$ là mệnh đề đúng vì, tồn tại x = - 2 $\in \mathbb{Z}$ nhưng x = - 2 $\notin \mathbb{N}$.

sc) Mệnh đề $\forall x\in ℝ$ nếu $x\in \mathbb{Z}$ thì $x\in \mathbb{Q}$ là mệnh đề đúng vì, tập ℤ$\subset$ℚ nên với $\forall x\in \mathbb{Z}$ thì $x\in \mathbb{Q}$.

Bài 6 trang 27 Toán lớp 10 Tập 1: Xét các quan hệ bao hàm giữa các tập hợp dưới đây. Vẽ biểu đồ Ven để thể hiện các quan hệ bao hàm đó.

A là tập hợp các hình tứ giác;

B là tập hợp các hình bình hành;

C là tập hợp các hình chữ nhật;

D là tập hợp các hình vuông;

E là tập hợp các hình thoi

Lời giải:

Hình vuông là hình thoi và cũng là hình chữ nhật nên D là giao của tập C và tập E.

Hình thoi và hình chữ nhật là hình bình hành (vì có các cặp cạnh đối song song) nên tập C và E là tập con của tập B.

Hình bình hành là tứ giác (vì có 4 cạnh) nên tập B là tập con của tập A.

Ta có biểu đồ ven thể hiện các mối quan hệ bao hàm như sau:

Bài 7 trang 27 Toán lớp 10 Tập 1: a) Hãy viết tất cả các tập con của tập hợp A = {a; b; c}.

b) Tìm tất cả các tập hợp B thỏa mãn điều kiện {a; b} ⊂ B ⊂ {a; b; c; d}.

Lời giải:

a) Các tập con của tập hợp A là: {a}; {b}; {c}; {a;b}; {a; c}; {b; c}; {a; b; c}; $\varnothing$.

Vậy các tập con của tập A là {a}; {b}; {c}; {a;b}; {a; c}; {b; c}; {a; b; c}; $\varnothing$.

b) Các tập hợp B thỏa mãn điều kiện {a; b} $\subset$ B $\subset${a; b; c; d} là:

B = {a; b} hoặc B = {a; b; c} hoặc B = {a; b; d} hoặc B = {a; b; c; d}.

Vậy tất cả các tập hợp B thỏa mãn điều kiện đã cho là: B = {a; b}, B = {a; b; c}, B = {a; b; d}, B = {a; b; c; d}.

Bài 8 trang 27 Toán lớp 10 Tập 1: Cho A = {x ∈ ℝ |x² – 5x – 6 = 0}, B = {x ∈ ℝ |x² = 1}. Tìm A∩B, A∪B, A\B, B\A.

Lời giải:

Phương trình x² – 5x – 6 = 0 có hai nghiệm x = -1 và x = 6 đều là các số thực.

⇒ A = {- 1; 6}.

Phương trình x² = 1 có hai nghiệm x = 1 và x = -1 đều là các số thực.

⇒ B = {- 1; 1}.

Khi đó, các tập hợp được xác định như sau:

A$\cap$B = {- 1};

A$\cup$B = {- 1; 1; 6};

A\B = {6};

B\A = {1}.

Bài 9 trang 27 Toán lớp 10 Tập 1: Cho A = {x ∈ ℝ|1 – 2x ≤ 0}, B = {x ∈ ℝ |x – 2

< 0}. Tìm A∩B, A∪B.

Lời giải:

Ta có: A = {x $\in$ℝ | 1 – 2x ≤ 0} = {x $\in$ℝ | x ≥$\frac{1}{2}$ } = $[\frac{1}{2}; + \infty )$.

Ta lại có B = {x $\in$ℝ | x – 2 < 0} = {x $\in$ℝ | x < 2} = (- ∞; 2).

Ta có sơ đồ sau:

Suy ra A$\cap$B =$[\frac{1}{2}; 2)$

Suy ra A$\cup$B = (- ∞; + ∞)

Vậy A$\cap$B =$[\frac{1}{2}; 2)$  và A$\cup$B = (- ∞; + ∞).

Bài 10 trang 27 Toán lớp 10 Tập 1: Lớp 10C có 45 học sinh, trong đó có 18 học sinh tham gia cuộc thi thiết kế đồ họa trên máy tính, 24 học sinh tham gia cuộc thi văn phòng cấp trường và 9 học sinh không tham gia hai cuộc thi này. Hỏi có bao nhiêu học sinh của lớp 10C tham gia đồng thời hai cuộc thi.

Lời giải:

Ta có sơ đồ ven như sau:

Ta có số học sinh tham gia ít nhất một trong hai cuộc thi là: 45 – 9 = 36 (học sinh).

Gọi A là tập hợp số học sinh tham gia cuộc thi vẽ đồ họa trên máy tính.

Gọi B là tập hợp số học sinh tham gia cuộc thi tin học văn phòng.

Khi đó n(A) = 18, n(B) = 24 và n(A∪B) = 36.

Số học sinh tham gia đồng thời cả hai cuộc thi là: n(A) + n(B) – n(A∪B) = 18 + 24 -36 = 6.

Vậy có 6 học sinh của lớp 10C tham gia đồng thời cả hai cuộc thi.