Giải bài tập Toán 10 Bài 2: Tập hợp

Video giải bài tập Toán 10 Bài 2: Tập hợp

Khởi động trang 16 Toán lớp 10 Tập 1: Giả sử bạn có một giá sách và các quyển sách như hình dưới đây. Bạn sẽ xếp các quyển sách của mình lên giá như thế nào? Hãy giải thích.

Lời giải:

Chúng ta sẽ sắp xếp các cuốn sách thành các nhóm sau:

Ngăn thứ nhất của giá sách sẽ xếp các cuốn sách liên quan đến Toán học: Lịch sử toán học, Toán học vui.

Ngăn thứ hai của giá sách sẽ xếp các cuốn sách liên quan đến Văn học: Tuyển tập Nam Cao, Dế mèn phiêu lưu kí, Truyện ngắn chọn lọc, Hoàng Lê nhất thống trí.

Ngăn thứ ba của giá sách sẽ xếp các cuốn sách liên quan đến Lịch sử: Việt Nam sử lược, Lịch sử thế giới, Lịch sử Việt Nam.

Ngăn thứ tư của giá sách sẽ xếp các cuốn sách liên quan đến Khoa học: Khoa học vui, Vật lí thưởng thức.

Thực hành 1 trang 16 Toán lớp 10 Tập 1: a) Lấy ba ví dụ về tập hợp và chỉ ra một số phần tử của chúng.

b) Với mỗi tập hợp  ℕ, ℤ, $\mathbb{Q}$, ℝ hãy sử dụng kí hiệu ∈ và ∉ để chỉ ra hai phần tử thuộc, hai phần tử không thuộc tập hợp đó.

Lời giải:

a) Cho tập A là tập các số tự nhiên nhỏ hơn 10, khi đó 1 $\in$ A, 3 $\in$ A, 5 $\in$ A, 9 $\in$ A.

Cho tập B các số tự nhiên là ước của 6, khi đó 1 $\in$ B, 2$\in$ B, 3$\in$ B, 6$\in$ B.

Cho tập C là tập các số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 20, khi đó 1 $\in$ C, 3 $\in$ C, 5$\in$ C, 11$\in$ C

b) Xét tập hợp ℕ, khi đó 1 $\in$ ℕ, 4 $\in$ ℕ, - 4 $\notin$ ℕ, $\frac{3}{5}\notin \mathbb{N}$.

Xét tập hợp ℤ, khi đó - 2 $\in$ ℤ, 3 $\in$ ℤ, $\frac{2}{3}\notin \mathbb{Z}$, $\sqrt{10}\notin \mathbb{Z}$.

Xét tập hợp ℚ, khi đó  $\frac{2}{3}\in \mathbb{Q}$, $\frac{1}{2}\in \mathbb{Q}$, $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$, $\sqrt{5}\notin \mathbb{Q}$.

Xét tâp hợp ℝ, khi đó $\sqrt{2}\in ℝ$, 5 $\in$ ℝ. Ta có các tập hợp ℕ, ℤ, ℚ đều là tập hợp con của tập hợp ℝ nên tất cá các phần tử đều thuộc ℝ.

Thực hành 2 trang 18 Toán lớp 10 Tập 1: Viết các tập hợp sau đây dưới dạng liệt kê các phần tử và tìm số phần tử của mỗi tập hợp đó:

a) Tập hợp A các ước của 24;

b) Tập hợp B gồm các chữ số trong số 1 113 305;

c) C = {n ∈ ℕ | n là bội của 5 và n ≤ 30};

d) D = {x ∈ ℝ | x² – 2x + 3 = 0}.

Lời giải:

a) Tập A là tập gồm các ước của 24 nên A = {- 24; - 12; - 8; - 6; - 4; - 3; - 2; - 1; 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}.

Tập A có 16 phần tử

b) Tập B gồm các chữ số trong số 1 113 305 nên B = {0; 1; 3; 5}.

Tập B có 4 phần tử

c) Tập hợp C là tập gồm các số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng 30 là bội của 5 nên C = {0; 5; 10; 15; 20; 25; 30}.

Tập C có 7 phần tử

d) Xét phương trình x² – 2x + 3 = 0 có ∆ = - 8 < 0. Do đó phương trình vô nghiệm hay không có giá trị x nào thỏa mãn phương trình nên  D = $\varnothing$.

Tập D có 0 phần tử

Thực hành 3 trang 18 Toán lớp 10 Tập 1: Viết các tập hợp sau đây dưới dạng chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử:

a) A = {1; 3; 5; …; 15};

b) B = {0; 5; 10; 15; 20; …};

c) Tập hợp C các nghiệm của bất phương trình 2x + 5 > 0.

Lời giải:

a) Theo cách chỉ ra tính chất đặc trưng, ta viết:

 A = {x | x $\in$ ℕ, x lẻ và x ≤ 15};

b) Theo cách chỉ ra tính chất đặc trưng, ta viết:

 B = {x | x $\in$ ℕ, x chia hết cho 5};

c) Theo cách chỉ ra tính chất đặc trưng, ta viết:

C = {x | x $\in$ ℝ, x > $-\frac{5}{2}$}.

Khám phá trang 18 Toán lớp 10 Tập 1: Trong mỗi trường hợp sau đây, các phần tử của tập hợp A có thuộc tập hợp B không? Hãy giải thích.

a) A = {-1; 1} và B = {-1; 0; 1; 2};

b) A = ℕ và B = ℤ;

c) A là tập hợp các học sinh nữ của lớp 10E, B là tập hợp các học sinh của lớp này;

d) A là tập hợp các loài động vật có vú, B là tập hợp các loài động vật có xương sống.

Lời giải:

a) Phần tử của tập hợp A thuộc tập hợp B, vì:

Các phần tử -1 và 1 của tập A đều thuộc tập B.

b) Phần tử của tập hợp A thuộc tập hợp B, vì: tập hợp ℤ là tập gồm các số tự nhiên và các số đối của nó. Vậy tất cả các phần tử của tập số tự nhiên đều thuộc ℤ.

c) Phần tử của tập hợp A thuộc tập hợp B, vì: mỗi học sinh nữ của lớp 10E là một phần tử của tập các học sinh lớp 10E.

d) Phần tử của tập hợp A thuộc tập hợp B, vì: Động vật có xương sống bao gồm cá, động vật lưỡng cư, bò sát, chim và động vật có vú. Vậy tất cả các động vật có vú đều là động vật có sương sống.

Thực hành 4 trang 19 Toán lớp 10 Tập 1: Trong mỗi cặp tập hợp sau đây, tập hợp nào là tập con của tập hợp còn lại? Chúng có bằng nhau không?

a) A = $\left\{\sqrt{3};-\sqrt{3}\right\}$  và B = {x ∈ ℝ | x² – 3 = 0};

b) C là tập hợp các tam giác đều và D là tập hợp các tam giác cân;

c) E = {x ∈ ℕ | x là ước của 12} và F = {x ∈ ℕ | x là ước của 24}.

Lời giải:

a) Ta có x² – 3 = 0 $\iff \left[\begin{array}{l}x=-\sqrt{3}\\ x=\sqrt{3}\end{array}\right.$ 

Suy ra $B=\text{{}-\sqrt{3};\sqrt{3}\text{}}$

Tập hợp A là con của tập hợp B, vì các phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B; Tập hợp B là con của tập hợp A vì các phần tử của tập hợp B đều thuộc tập hợp A.

Hai tập hợp A và B có bằng nhau vì tập hợp A là tập con của tập hợp B và tập hợp B là tập con của tập hợp A.

b) Tập hợp C là tập con của tập hợp D vì tam giác đều là tam giác cân và có một góc bằng 60⁰ vậy tất cả các tam giác đều thì đều là tam giác cân nên tập hợp C là tập con của tập hợp D.

Hai tập hợp C và D không bằng nhau vì, tam giác đều là tam giác cân nhưng tam giác cân thì chưa chắc là tam giác đều, nên tập hợp C là tập con của tập hợp D nhưng tập hợp D không là tập con của tập hợp C. Vậy hai tập hợp C và D không bằng nhau.

c) Ta có E = {1; 2; 3; 4; 6; 12}; F = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

Tập hợp E là con của tập hợp F vì, các phần tử của tập hợp E đều thuộc tập hợp F

Hai tập hợp E và F không bằng nhau vì, tập hợp E là con của tập hợp F nhưng tập hợp F không là con của tập hợp E nên hai tập hợp E và F không bằng nhau.

Thực hành 5 trang 19 Toán lớp 10 Tập 1: Viết tất cả các tập con của tập A = {a; b}.

Lời giải:

Các tập con của tập A gồm: {a}; {b}; {a; b}; $\varnothing$.

Vận dụng trang 20 Toán lớp 10 Tập 1: Bạn An khẳng định rằng: Với các tập hợp A, B, C bất kì, nếu A ⊂ B và B ⊂ C thì A ⊂ C. Khẳng định của bạn An có đúng không? Hãy giải thích bằng cách sử dụng biểu đồ ven.

Lời giải:

Khẳng định của bạn An là đúng.

Thật vậy, ta có sơ đồ ven sau:

Ta có tập hợp $A\subset B$nên các phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B, tập hợ

$B\subset C$ nên các phần tử của tập hợp B đều thuộc tâp hợp C. Vậy các phần tử của tập

hợp A đều thuộc tập hợp C nên tập hợp $A\subset C$.

Thực hành 6 trang 20 Toán lớp 10 Tập 1: Dùng các kí hiệu đoạn, khoảng, nửa khoảng để viết các tập hợp sau đây:

a) $\left\{x\in ℝ|-2<x<3\right\};$

b) $\left\{x\in ℝ|1\le x\le 10\right\};$

c) $\left\{x\in ℝ|-5<x\le \sqrt{3}\right\};$

d) $\left\{x\in ℝ|\pi \le x<4\right\};$

e) $\left\{x\in ℝ|x<\frac{1}{4}\right\};$

g) $\left\{x\in ℝ|x\ge \frac{\pi }{2}\right\}.$

Lời giải:

a) Xét {x $\in$ ℝ | - 2 < x < 3}$\Rightarrow x\in (-2;3)$.

Vậy {x $\in$ ℝ | - 2 < x < 3} = (-2; 3).

b) Xét {x $\in$ ℝ | 1≤ x ≤ 10}$\Rightarrow x\in \text{[}1;10]$.

Vậy {x $\in$ ℝ | 1≤ x ≤ 10} = [1; 10].

c) Xét {x $\in$ ℝ | - 5 < x ≤ $\sqrt{3}$}$\Rightarrow x\in (-5;\sqrt{3}]$.

Vậy {x $\in$ ℝ | - 5 < x ≤ $\sqrt{3}$}$=(-5;\sqrt{3}]$.

d) Xét {x $\in$ ℝ | π ≤ x < 4}$\Rightarrow x\in \text{[}\pi ;4)$.

Vậy {x $\in$ ℝ | π ≤ x < 4} = [π; 4).

e) Xét {x $\in$ ℝ |  x < $\frac{1}{4}$} $\Rightarrow x\in \left(-\infty ;\frac{1}{4}\right)$.

Vậy {x $\in$ ℝ |  x < $\frac{1}{4}$} $=\left(-\infty ;\frac{1}{4}\right)$.

g) Xét {x $\in$ ℝ |  x ≥ $\frac{\pi }{2}$} $\Rightarrow x\in \left(\frac{\pi }{2};+\infty \right)$.

Vậy {x $\in$ ℝ |  x ≥ $\frac{\pi }{2}$} $=\left(\frac{\pi }{2};+\infty \right)$.

Bài tập

Bài 1 trang 20 Toán lớp 10 Tập 1: Viết các tập hợp sau đây dưới dạng liệt kê các phần tử:

a) A = {x $\in$ ℤ | $\left|x\right|$ < 5};

b) B = {x $\in$ ℝ | 2x² – x – 1 = 0};

c) C = {x $\in$ ℕ | x có hai chữ số}.

Lời giải:

a) Ta có $\left|x\right|$ < 5 ⇔$\left[\begin{array}{l}x<5\\ x>-5\end{array}\right.$⇔ -5 < x < 5.

Mà x $\in$ ℤ nên x $\in${- 4; - 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3; 4}.

Vậy A = {- 4; - 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3; 4}.

b) Ta có: 2x2 – x – 1 = 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Mà 1; $-\frac{1}{2}$ đều là các số thực.

Vậy B = {1; $-\frac{1}{2}$}.

c) Các số tự nhiên có hai chữ số là 10; 11; 12; …; 99.

Vậy C = {10; 11; 12; …; 99}.

Bài 2 trang 21 Toán lớp 10 Tập 1: Viết các tập hợp sau đây dưới dạng chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử:

a) Tập hợp A = {1; 2; 3; 6; 9; 18};

b) Tập hợp B các nghiệm của bất phương trình 2x + 1 > 0;

c) Tập hợp C các nghiệm của phương trình 2x – y = 6.

Lời giải:

a) Tập hợp A = {1; 2; 3; 6; 9; 18};

Theo cách chỉ ra tính chất đặc trưng, ta viết:

A = {x ∈ ℕ| x là ước của 18}

b) Tập hợp B các nghiệm của bất phương trình 2x + 1 > 0;

Theo cách chỉ ra tính chất đặc trưng, ta viết

B = {x $\in$ ℝ | x > $-\frac{1}{2}$}.

c) Tập hợp C các nghiệm của phương trình 2x – y = 6.

Theo cách chỉ ra tính chất đặc trưng, ta viết:

C = {(x; y)| x, y $\in$ ℝ, 2x – y = 6}.

Bài 3 trang 21 Toán lớp 10 Tập 1: Trong mỗi cặp tập hợp sau đây, tập hợp nào là con của tập hợp còn lại? Chúng có bằng nhau không?

a) A = {x $\in$ ℕ | x < 2} và B = {x $\in$ ℝ | x² – x = 0};

b) C là tập hợp các hình thoi và D là tập hợp các hình vuông;

c) E = (- 1; 1] và F = (- ∞; 2].

Lời giải:

a) A = {x $\in$ ℕ | x < 2} $\Rightarrow$ A = {0; 1};

B = {x $\in$ ℝ | x² – x = 0} $\Rightarrow$ B = {0; 1};

Vậy tập hợp A là tập con của tập hợp B vì các phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B và tập hợp B là tập con của tập hợp A vì các phần tử của tập hợp B đều thuộc tập hợp A.

Hai tập hợp A và B có bằng nhau vì tập hợp A là tập con của tập hợp B và tập hợp B là tập con của tập hợp A.

b) Tập hợp D là con của tập hợp C vì, tất cả các hình vuông đều là hình thoi.

Hai tập hợp C và D không bằng nhau vì tập hợp D là tập con của tập hợp C nhưng tập hợp C không là tập con của tập hợp D (hình thoi chưa chắc là hình vuông)

c) Tâp E là tập con của tập F vì, nửa khoảng từ (- 1; 1]  nằm trong nửa khoảng (- ∞; 2].

Hai tập E và F không bằng nhau vì, tập E là tập con của tập F nhưng tập F không là tập con của tập E.

Bài 4 trang 21 Toán lớp 10 Tập 1: Hãy viết tất cả các tập con của tập hợp B = {0; 1; 2}.

Lời giải:

Các tập con của tập B gồm: {0}; {1}; {2}; {0;1}; {0; 2}; {1; 2}; {0; 1; 2}; $\varnothing$.

Bài 5 trang 21 Toán lớp 10 Tập 1: Dùng các kí hiệu đoạn, khoảng, nửa khoảng, viết các tập hợp sau đây:

a) {x $\in$ ℝ | - 2π ≤ x ≤ 2π};

b) {x $\in$ ℝ | $\left|x\right|$ ≤ 3};

c) {x $\in$ ℝ | x < 0};

d {x $\in$ ℝ | 1 – 3x ≤ 0}.

Lời giải:

a) {x $\in$ ℝ | - 2π ≤ x ≤ 2π} $\Rightarrow$ x $\in$ [- 2π; 2π];

Vậy {x $\in$ ℝ | - 2π ≤ x ≤ 2π} =  [- 2π; 2π].

b) {x $\in$ ℝ | $\left|x\right|$ ≤ 3} $\Rightarrow$ x $\in$ [- 3; 3];

Vậy {x $\in$ ℝ | $\left|x\right|$ ≤ 3} =  [- 3; 3].

c) {x $\in$ ℝ | x < 0} $\Rightarrow$ x $\in$ (- ∞; 0)

Vậy {x $\in$ ℝ | x < 0} = (- ∞; 0).

d) {x $\in$ ℝ | 1 – 3x ≤ 0} = {x $\in$ ℝ | x ≥ $\frac{1}{3}$} $\Rightarrow$ x $\in$ [$\frac{1}{3}$; + ∞}.

Vậy {x $\in$ ℝ | 1 – 3x ≤ 0} = [$\frac{1}{3}$; + ∞}.