Giải bài tập Toán 10 Bài 3: Nhị thức Newton 

A. Câu hỏi

Hoạt động khởi động trang 33 Toán lớp 10 Tập 2:

Ở Trung học cơ sở, ta đã quen thuộc với các công thức khai triển:

(a + b)² = a² + 2ab + b²   ; (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ 

Với số tự nhiên n > 3 thì công thức khai triển biểu thức (a + b)ⁿ sẽ như thế nào?

Lời giải:

Sau bài học này ta sẽ biết được công thức khai triển biểu thức (a + b)ⁿ với n > 0 như sau:

(a + b)ⁿ = $C_n^0$ aⁿ + $C_n^1{a}^{n-1}b+C_n^2{a}^{n-2}{b}^2+\mathrm{...}+C_n^{n-1}a{b}^{n-1}+C_n^n{b}^n$ .

Hoạt động khám phá trang 33 Toán lớp 10 Tập 2:

a) Xét công thức khai triển : (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ .

i) Liệt kê các số hạng của khai triển trên.

ii) Liệt kê các hệ số của khai triển trên.

iii) Tính giá trị của $C_3^0;C_3^1;C_3^2;C_3^3$ (có thể sử dụng máy tính) rồi so sánh với các hệ số trên. Có nhận xét gì?

b) Hoàn thành biến đổi sau đây để tìm công thức khai triển của (a + b)⁴:

(a + b)⁴  = (a + b) (a + b)³ =  =  a⁴ +  a³b +  a²b² +   ab³ +  b⁴

Tính giá trị của $C_4^0;C_4^1;C_4^2;C_4^3;C_4^4$  rồi so sánh với hệ số của triển khai trên

Từ đó hãy sử dụng các kí hiệu $C_4^0;C_4^1;C_4^2;C_4^3;C_4^4$  để viết lại công thức khai triển trên

c) Từ kết quả của câu a) và b), hãy dự đoán công thức khai triển của (a + b)⁵. Tính toán để kiểm tra dự đoán đó.

Lời giải:

a) Xét công thức khai triển : (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

i) Các số hạng của khai triển trên là: a³; 3a²b; 3ab²; b³.

ii) Các hệ số tương ứng của các số hạng của khai triển trên lần lượt là: 1; 3; 3; 1.

iii) Ta có: $C_3^0=1;C_3^1=3;C_3^2=3;C_3^3=1$

Nhận xét: Các giá trị của $C_3^0;C_3^1;C_3^2;C_3^3$  lần lượt bằng với các hệ số của các số hạng a³; 3a²b; 3ab²; b³ trong khai triển trên.

b) Ta có: (a + b)⁴  = (a + b) (a + b)³ =  (a + b)(a³ + 3a²b + 3ab² + b³)   

= a⁴ + 3a³b + 3a²b² + ab³ + a³b + 3a²b² + 3ab³ + b⁴

= a⁴ + (3a³b + a³b) + (3a²b² + 3a²b²) + (ab³+ 3ab³) + b⁴

=  a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

Giá trị của $C_4^0=1;C_4^1=4;C_4^2=6;C_4^3=4;C_4^4=1$

Nhận xét: Các giá trị của $C_4^0;C_4^1;C_4^2;C_4^3;C_4^4$  lần lượt bằng với các hệ số của các số hạng trong khai triển trên.

Bằng cách sử dụng các kí hiệu $C_4^0;C_4^1;C_4^2;C_4^3;C_4^4$  ta viết lại công thức khai triển (a + b)⁴ như sau:

(a + b)⁴  = $C_4^0{a}^4+C_4^1{a}^{3}b+C_4^2{a}^2{b}^2+C_4^{3}a{b}^3+C_4^4{b}^4$

c) Ta có dự đoán công thức như sau:

(a + b)⁵ = $C_5^0{a}^5+C_5^1{a}^{4}b+C_5^2{a}^3{b}^2+C_5^3{a}^2{b}^3+C_5^{4}a{b}^4+C_5^5{b}^5$ .

Áp dụng hằng đẳng thức ta có:

(a + b)⁵ = (a + b)².(a + b)³ = (a² + 2ab + b²)(a³ + 3a²b + 3ab² + b³)

= a⁵ + 3a⁴b + 3a³b² + a²b³ + 2a⁴b + 6a³b² + 6a²b³ + 2ab⁴ + a³b² + 3a²b³ + 3ab⁴ + b⁵

= a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

Mà  $C_5^0$ = 1, $C_5^1$  = 5, $C_5^2$  = 10, $C_5^3$  = 10, $C_5^4$  = 5, $C_5^5$  = 1.

Khi đó (a + b)⁵ = $C_5^0{a}^5+C_5^1{a}^{4}b+C_5^2{a}^3{b}^2+C_5^3{a}^2{b}^3+C_5^{4}a{b}^4+C_5^5{b}^5$ luôn đúng.

Thực hành 1 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2:

Khai triển các biểu thức sau:

a) (x – 2)⁴

b) (x + 2y)⁵

Lời giải:

a) (x – 2)⁴ 

$=C_4^0{x}^4-2C_4^1{x}^3+4C_4^2{x}^2-8C_4^3{x}^3+16C_4^4$

$=x^4-8x^3+24x^2-32x^3+16$.            

b) ( x + 2y)⁵

 $$\begin{gathered} =C_5^0{x}^5+C_5^1{x}^4.2y+C_5^2{x}^3{\left(2y\right)}^2+C_5^3{x}^2{\left(2y\right)}^3+C_5^{4}x{\left(2y\right)}^4+C_5^5{\left(2y\right)}^5 \\ =x^5+10x^{4}y+40x^3{y}^2+80x^2{y}^3+80x{y}^4+32y^5 \end{gathered}$$      

Hoạt động thực hành 2 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2:

Sử dụng công thức của nhị thức Newton chứng tỏ rằng:

a) $C_4^0+2C_4^1+2^2{C}_4^2+2^3{C}_4^3+2^4{C}_4^4=81$

b) $C_4^0-2C_4^1+2^2{C}_4^2-2^3{C}_4^3+2^4{C}_4^4=1$

Lời giải:

a)

 $$\begin{gathered} C_4^0+2C_4^1+2^2{C}_4^2+2^3{C}_4^3+2^4{C}_4^4 \\ =C_4^0{.1}^4+C_4^1{.1}^3{.2}^1+C_4^2{.1}^2{.2}^2+C_4^3{\mathrm{.1.2}}^3+C_4^4{.2}^4 \end{gathered}$$

Áp dụng công thức của nhị thức Newton ta có:

$C_4^0+2C_4^1+2^2{C}_4^2+2^3{C}_4^3+2^4{C}_4^4$ = (1 + 2)⁴ = 3⁴ = 81 (đpcm).

b) $C_4^0-2C_4^1+2^2{C}_4^2-2^3{C}_4^3+2^4{C}_4^4$

$=C_4^0{.1}^4+C_4^1{.1}^3.{(-2)}^1+C_4^2{.1}^2.{(-2)}^2+C_4^3{.1}^1.{(-2)}^3+C_4^4.{(-2)}^4$

Áp dụng công thức của nhị thức Newton ta có:

$C_4^0-2C_4^1+2^2{C}_4^2-2^3{C}_4^3+2^4{C}_4^4$ = (1 – 2)⁴ = (–1)⁴ = 1 (đpcm).

Vận dụng trang 35 Toán lớp 10 Tập 2:

Trên quầy còn 4 vé xổ số khác nhau. Một khách hàng có bao nhiêu lựa chọn mua một số vé trong số các vé xổ số đó? Tính cả trường hợp mua không vé, tức là không mua vé nào.

Lời giải:

Mỗi cách lựa chọn mua vé của khách hàng là một tổ hợp chập k của 4 . Do đó, số phương thức mua vé là $C_4^k$ , mà tính cả trường hợp không mua vé nào cả. Vậy số phương thức lựa chọn mua một số vé trong số các vé sổ số đó bằng: $C_4^0+C_4^1+C_4^2+C_4^3+C_4^4$ .         

Theo công thức của nhị thức Newton, ta có:

$C_4^0+C_4^1+C_4^2+C_4^3+C_4^4$ = (1 + 1)⁴ = 2⁴ = 16 cách thức lựa chọn mua vé sổ số 

B. Bài tập

Bài 1 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2:

Sử dụng công thức nhị thức Newton, khai triển các biểu thức sau:

a) (3x + y)⁴                                        

b) (x – $\sqrt{2}$)⁵

Lời giải:

a) (3x + y)⁴  = $C_4^0{\left(3x\right)}^4+C_4^1{\left(3x\right)}^{3}y+C_4^2{\left(3x\right)}^2{y}^2+C_4^3.3x{y}^3+C_4^4{y}^4$

                    =  81x⁴ +108x³y + 54x²y² + 12xy³ + y⁴.   

Vậy (3x + y)⁴  = 81x⁴ + 108x³y + 54x²y² + 12xy³ + y⁴.   

b)

(x – $\sqrt{2}$)⁵ = $C_5^0{x}^5+C_5^1{x}^4(-\sqrt{2})+C_5^2{x}^3{(-\sqrt{2})}^2+C_5^3{x}^2{(-\sqrt{2})}^3+C_5^{4}x{(-\sqrt{2})}^4+C_5^5{(-\sqrt{2})}^5$

               = x⁵ – 5$\sqrt{2}$ x⁴ + 20x³ – 20$\sqrt{2}$ x² + 20x – 4$\sqrt{2}$ .

Vậy (x – $\sqrt{2}$)⁵ = x⁵ – 5$\sqrt{2}$ x⁴ + 20x³ – 20$\sqrt{2}$ x² + 20x – 4$\sqrt{2}$ .

Bài 2 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2:

Triển khai và rút gọn các biểu thức sau:

a) (2 + $\sqrt{2}$ )⁴;                            

b) (2 + $\sqrt{2}$ )⁴ +  (2 – $\sqrt{2}$ )⁴;                 

c) (1 – $\sqrt{3}$ )⁵

Lời giải:

a) (2 + $\sqrt{2}$ )⁴  $=C_4^0{2}^4+C_4^1{2}^3.\sqrt{2}+C_4^2{2}^2{\left(\sqrt{2}\right)}^2+C_4^{3}2{\left(\sqrt{2}\right)}^3+C_4^4{\left(\sqrt{2}\right)}^4$     

                      = 16 + 32$\sqrt{2}$  + 48 + 16$\sqrt{2}$  + 4 = 68 + 48$\sqrt{2}$ .

Vậy (2 + $\sqrt{2}$ )⁴ = 68 + 48$\sqrt{2}$

b) (2 + $\sqrt{2}$ )⁴ +  (2 – $\sqrt{2}$ )⁴        

Ta có: (2 - $\sqrt{2}$ )⁴  $=C_4^0{2}^4-C_4^1{2}^3.\sqrt{2}+C_4^2{2}^2{\left(\sqrt{2}\right)}^2-C_4^{3}2{\left(\sqrt{2}\right)}^3+C_4^4{\left(\sqrt{2}\right)}^4$        

                      = 16 – 32$\sqrt{2}$  + 48 – 16$\sqrt{2}$  + 4 = 68 – 48$\sqrt{2}$ .

Vậy (2 + $\sqrt{2}$ )⁴ +  (2 – $\sqrt{2}$ )⁴ = 68 + 48$\sqrt{2}$ + 68 – 48$\sqrt{2}$ = 68 + 68 = 136

c) (1 – $\sqrt{3}$ )⁵

$=C_5^0{.1}^5-C_5^1{.1}^4.\sqrt{3}+C_5^2{.1}^3.{\left(\sqrt{3}\right)}^2-C_5^3{.1}^2.{\left(\sqrt{3}\right)}^3+C_5^4\mathrm{.1.}{\left(\sqrt{3}\right)}^4-C_5^1.{\left(\sqrt{3}\right)}^5$

= 1 – 5$\sqrt{3}$ + 30 – 30$\sqrt{3}$  + 45 – 9$\sqrt{3}$ = 76 – 44$\sqrt{3}$ .

Vậy (1 – $\sqrt{3}$ )⁵ = 76 – 44$\sqrt{3}$  

Bài 3 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2:

Tìm hệ số của x³ trong khai triển (3x – 2)⁵

Lời giải:

Ta có: (3x – 2)⁵ = $C_5^0{\left(3x\right)}^5-C_5^1{\left(3x\right)}^4.2+C_5^2{\left(3x\right)}^3{.2}^2-C_5^3{\left(3x\right)}^2{.2}^3+C_5^{4}3x{.2}^4-C_5^5{2}^5$

                          = 243x⁵ – 810x⁴ + 1080x³ – 720x² + 240x – 32

Vậy hệ số của x³ trong khai triển (3x – 2)⁵ là: 1080.

Bài 4 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2:

Chứng minh rằng: $C_5^0-C_5^1+C_5^2-C_5^3+C_5^4-C_5^5=0$ .

Lời giải:

Ta có:

$$\begin{gathered} C_5^0-C_5^1+C_5^2-C_5^3+C_5^4-C_5^5=C_5^0{1}^5+C_5^1{1}^4(-1)+C_5^2{1}^3{(-1)}^2+ \\ {C}_5^3{1}^2{(-1)}^3+C_5^{4}1{(-1)}^4+C_5^5{(-1)}^5 \end{gathered}$$

Theo công thức nhị thức Newton ta có:

$C_5^0-C_5^1+C_5^2-C_5^3+C_5^4-C_5^5=$(1 – 1)⁵ = 0 (đpcm).

Bài 5 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2:

Cho A = {a₁; a₂; a₃; a₄; a₅} là một tập hợp có 5 phần tử. Chứng minh rằng số tập hợp con có số lẻ (1; 3; 5) phần tử của A bằng số tập hợp con có số chẵn (0; 2; 4) phần tử của A

Lời giải:

Tập hợp A có 5 phần tử. Mỗi tập con của A có k phần tử là một tập hợp chập k của 5. Do đó số tập con như vậy bằng $C_5^k$

+ Số tập hợp con có số lẻ phần tử của A gồm các trường hợp sau:

- Tập con có 1 phần tử: $C_5^1$ ;

- Tập con có 3 phần tử: $C_5^3$ ;

- Tập con có 5 phần tử: $C_5^5$ .

Do đó tổng số tập con có lẻ phần tử là  $C_5^1+C_5^3+C_5^5$  (tập).

+ Số tập hợp con có số chẵn phần tử của A gồm các trường hợp sau:

- Tập con có 0 phần tử: $C_5^0$ ;

- Tập con có 2 phần tử: $C_5^2$ ;

- Tập con có 4 phần tử: $C_5^4$ .

Do đó tổng số tập con có lẻ phần tử là $C_5^0+C_5^2+C_5^4$  (tập).

Mà ta có $C_5^1=C_5^4;C_5^3=C_5^2;C_5^5=C_5^0$  nên $C_5^1+C_5^3+C_5^5$  =  $C_5^4+C_5^2+C_5^0$

Vậy số tập hợp con có số lẻ (1; 3; 5) phần tử của A bằng số tập hợp con có số chẵn (0; 2; 4) phần tử của A.