Giải bài tập Toán 10 Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ

Khởi động trang 61 Toán lớp 10 Tập 1: Làm thế nào để mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác của góc nhọn cho các góc từ 0° đến 180°?

Lời giải:

Để mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác của góc nhọn cho các góc từ 0^o đến 180^o, ta thực hiện xác định các góc trên nửa đường tròn đơn vị, sau đó sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn.

1. Giá trị lượng giác

Khám phá 1 trang 61 Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O bán kính R = 1 nằm phía trên trục hoành được gọi là nửa đường tròn đơn vị. Cho trước một góc nhọn α, lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}=\alpha$. Giả sử điểm M có tọa độ (x₀; y₀). Áp dụng cách tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn đã học ở lớp 9, chứng tỏ rằng:

sinα = y₀; cosα = x₀ ; tanα =  $\frac{y_0}{x_0}$; cotα = $\frac{x_0}{y_0}$

Lời giải:

Ta có : OM = R = 1

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OHM ta có:

$\sin \alpha =\frac{MH}{MO}=\frac{y_0}{1}=y_0$

$\cos \alpha =\frac{OH}{MO}=\frac{x_0}{1}=x_0$

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{y_0}{x_0}$

Thực hành 1 trang 62 Toán lớp 10 Tập 1: Tìm các giá trị lượng giác của góc 135°.

Lời giải:

Gọi M là điểm thuộc nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}={135}^0$nên $\widehat{yOM}={45}^0$

Gọi N và P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox và Oy

Xét ∆ MOP vuông cân tại P ta có :

 $\begin{array}{l}O{P}^2+M{P}^2=O{M}^2\\ 2O{P}^2=O{M}^2\\ O{P}^2=\frac{O{M}^2}{2}=\frac{1}{2}\\ \Rightarrow OP=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$

Tương tự, xét ∆ NOP vuông cân tại P ta có : ON = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Do N nằm trên khoảng -1 đến 0 nên M ($\frac{-\sqrt{2}}{2}$;$\frac{\sqrt{2}}{2}$)

Vậy $\sin {135}^0=\frac{\sqrt{2}}{2};\cos {135}^0=\frac{-\sqrt{2}}{2}$; tan 135° = -1; cot 135° = -1.

2. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

Khám phá 2 trang 62 Toán lớp 10 Tập 1: Trên nửa đường tròn đơn vị, cho dây cung NM song song với trục Ox (Hình 4). Tính tổng số đo của hai góc  $\widehat{xOM}$ và $\widehat{xON}$

Lời giải:

Vì NM // Ox nên $\widehat{xOM}=\widehat{NMO}$.

Xét tam giác OMN cân tại O ta có:

$\widehat{ONM}+\widehat{NMO}+\widehat{NOM}={180}^0$ hay $2\widehat{NMO}+\widehat{NOM}={180}^0\left(1\right)$

Ta có: $\widehat{xOM}$+ $\widehat{xON}$= $\widehat{xOM}+\widehat{xOM}+\widehat{NOM}$

                                = $2.\widehat{NMO}+\widehat{NOM}\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có: $\widehat{xOM}+\widehat{xON}={180}^0$

Thực hành 2 trang 63 Toán lớp 10 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác: sin120°; cos150°; cot135°.

Lời giải:

sin120° = sin(180° – 60°) = sin60° = $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

cos150° = cos(180° – 30°) = – cos30° =  $-\frac{\sqrt{3}}{2}$;

cot135° = cot(180° – 45°) = – cot45° = –1.

Vận dụng 1 trang 63 Toán lớp 10 Tập 1: Cho biết sinα = , tìm góc α (0° ≤ α  ≤ 180°) bằng cách vẽ nửa đường tròn đơn vị.

Lời giải:

Gọi H($0;\frac{1}{2})$, K (0,1).

Gọi M là một điểm thuộc nửa đường tròn đơn vị sao cho HM//Ox.

Xét ∆MHK vuông tại H ta có: $M{K}^2=H{M}^2+H{K}^2$

Mà OH = HK (vì $\frac{1}{2}$OH = OK)

$\Rightarrow M{K}^2=H{M}^2+H{K}^2=H{M}^2+O{H}^2=O{M}^2$

$\Rightarrow OM=HK=OK$ hay tam giác OMK là tam giác đều

$\begin{array}{l}\Rightarrow \widehat{KOM}={60}^0\\ \Rightarrow \widehat{MOx}={90}^0-{60}^0={30}^0\end{array}$hay $\alpha ={30}^0$.

3. Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt

Thực hành 3 trang 63 Toán lớp 10 Tập 1: Tính

A = sin150° + tan135°  + cot45°;

B = 2cos30° – 3tan150° + cot135°.

Lời giải:

$A=\sin {150}^0+\tan {135}^0+\cot {45}^0$

$=\frac{1}{2}+(-1)+1=\frac{1}{2}$

$B=2\cos {30}^0-3\tan {150}^0+\cot {135}^0$

$=2.\frac{\sqrt{3}}{2}-3.\left(\frac{-\sqrt{3}}{3}\right)+(-1)$

$=2\sqrt{3}-1$

Vận dụng 2 trang 64 Toán lớp 10 Tập 1: Tìm góc α  (0° ≤ α  ≤ 180°) trong mỗi trường hợp sau:

a) sinα  = $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

b) cosα = $\frac{-\sqrt{2}}{2}$ ;

c) tanα  =  – 1;

d) cotα  =  $-\sqrt{3}$.

Lời giải:

a)  $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$khi α = 60o hoặc α = 120o.

b) $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{2}}{2}$ khi α = 135o.

c) tan α = -1 khi α = 135^o.                  

d) cot α = $-\sqrt{3}$ khi α = 150o.

4. Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của một góc

Thực hành 4 trang 65 Toán lớp 10 Tập 1:

a) Tính cos80°43'51"; tan147°12'25''; cot99°9'19".

b) Tìm α (0° ≤ α  ≤ 180°), biết cosα  = – 0,723.

Lời giải:

a) $\cos 80°43\text{'}51"$ ≈ 0,161072728

$\tan 147°12\text{'}25"$ ≈ -0,6434615294

$\cot 99°9\text{'}19"$ ≈ -0,1611637334

b) Ta có: cosα = - 0,723 suy ra α ≈ $136°19\text{'}$.

Bài tập

Bài 1 trang 65 Toán lớp 10 Tập 1: Cho biết sin30° = $\frac{1}{2}$; sin60° = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; tan45° = 1. Sử dụng mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau, phụ nhau để tính giá trị của E = 2cos30° + sin150° + tan135°.

Lời giải:

$E=2\cos {30}^0+\sin {150}^0+\tan {135}^0$

$=2\cos ({90}^0-{60}^0)+\sin ({180}^0-{30}^0)+\tan ({180}^0-{45}^0)$

$=2\sin {60}^0+\sin {30}^0-\tan {45}^0$$=2.\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}-1=\sqrt{3}-\frac{1}{2}$

Bài 2 trang 65 Toán lớp 10 Tập 1: Chứng minh rằng:

a) sin20° = sin160°;

b) cos50° =  – cos130°.

Lời giải:

a) Ta có: $\sin {20}^0=\sin ({180}^0-{160}^0)=\sin {160}^0$(đpcm)

b) Ta có: $\cos {50}^0=\cos ({180}^0-{130}^0)=-\cos {130}^0$(đpcm)

Bài 3 trang 65 Toán lớp 10 Tập 1: Tìm α (0° ≤ α  ≤ 180°) trong mỗi trường hợp sau:

a) cosα  = $\frac{-\sqrt{2}}{2}$ ;

b) sinα  = 0;

c) tanα  = 1;

d) cotα  không xác định.

Lời giải:

a)$\cos \alpha =\frac{-\sqrt{2}}{2}$ khi α = 135^o. 

b) sin α = 0 khi α = 0^o hoặc α = 180^o.

c) tan α = 1 khi α = 45^o.

d) cot α không xác định khi α = 0^o hoặc α = 180^o.

Bài 4 trang 65 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) sinA = sin(B + C);

b) cosA =  – cos(B + C).

Lời giải:

Xét ∆ABC có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^0$(định lí tổng ba góc trong một tam giác)

nên $\widehat{A}={180}^0-(\widehat{B}+\widehat{C})$ 

a) $\sin A=\sin ({180}^0-(B+C\left)\right)=\sin (B+C)$(đpcm)

b)$\cos A=\cos ({180}^0-(B+C\left)\right)=-\cos (B+C)$ (đpcm)

Bài 5 trang 65 Toán lớp 10 Tập 1: Chứng minh rằng với mọi góc α (0° ≤ α  ≤ 180°), ta đều có:

a) cos²α  + sin²α  = 1;

b) tanα  . cotα  = 1 (0° < α  < 180°, α  ≠ 90°).

c) 1 + tan²α  = $\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ (α  ≠ 90°);

d) 1 + cot² α  = $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ (0° < α  < 180°).

Lời giải:

Gọi M là điểm thuộc nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}=\alpha$($0^0\le \alpha \le {180}^0$). Khi đó, ta có: ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha ={x_0}^2+{y_0}^2=O{M}^2=1$

a) . Vậy ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$.$\sin \alpha =y_0;\cos \alpha =x_0,\tan \alpha =\frac{y_0}{x_0};\cot \alpha =\frac{x_0}{y_0}$

b) Với $0^0<\alpha <{180}^0$; α ≠ ${90}^0$:

tanα. cotα = $\frac{y_0}{x_0}.\frac{x_0}{y_0}=1$

Vậy tanα$1+{\tan }^2\alpha =1+\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$. cotα =1 ($0^0<\alpha <{180}^0$; α ≠ ${90}^0$).

c) $(\alpha \ne {90}^0)$.

Vậy $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }(\alpha \ne {90}^0)$.       

d) $1+{\cot }^2\alpha =1+\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }(0^0<\alpha <{180}^0)$.

Vậy$1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }(0^0<\alpha <{180}^0)$.

Bài 6 trang 65 Toán lớp 10 Tập 1: Cho góc α với cosα  = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Tính giá trị của biểu thức A = 2sin²α  + 5cos²α .

Lời giải:

$A=2{\sin }^2\alpha +5{\cos }^2\alpha$

$=2{\sin }^2\alpha +2{\cos }^2\alpha +3{\cos }^2\alpha$

$=2({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )+3{\cos }^2\alpha$

$=2+3{\cos }^2\alpha$(vì ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$)

$=2+3{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2$$=2+\frac{3}{2}=\frac{7}{2}$

Bài 7 trang 65 Toán lớp 10 Tập 1: Dùng máy tính cầm tay, hãy thực hiện các yêu cầu dưới đây:

a) Tính: sin168°45'33"; cos17°22'35"; tan156°26'39"; cot 56°36'42".

b) Tìm α (0° ≤ α  ≤ 180°) trong các trường hợp sau:

i) sinα  = 0,862;

ii) cosα  =  – 0,567;

iii) tanα  = 0,334.

Lời giải:

a)

 $\sin 168°45\text{'}33"$ ≈ 0,1949334051

$\cos 17°22\text{'}35"$ ≈ 0,9543634797

$\tan 156°26\text{'}39"$ ≈ -0,4359715781

$\cot 56°36\text{'}42"$≈ 0,6590863967

b) Với $0^0\le \alpha \le {180}^0$

i) sinα = 0,862 suy ra $\alpha \approx 59°32\text{'}31"$            

ii) cosα = -0,567 suy ra $\alpha \approx 124°32\text{'}29"$

iii) tanα = 0,334 suy ra $\alpha \approx 18°29\text{'}$