Giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 9 

Bài tập 1 trang 73 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho bốn điểm A(2; 1), B(1; 4), C(4; 5), D(5; 2).

a) Chứng minh ABCD là hình vuông. 

b) Tìm tọa độ tâm I của hình vuông ABCD.

Lời giải:

a) Ta có:  $\overrightarrow{AB}$ = (−1; 3), $\overrightarrow{DC}$ = (−1; 3) ⇒ $\overrightarrow{AB}$  = $\overrightarrow{DC}$ .

⇒ ABCD là hình bình hành.

Lại có:  $\overrightarrow{AD}$ = (3; 1) ⇒ $\overrightarrow{AB}$ . $\overrightarrow{AD}$ = −1. 3 + 3. 1 = 0

⇒  $\overrightarrow{AB}$ ⊥ $\overrightarrow{AD}$  hay AB ⊥ AD

⇒ Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Ta có: AD = $\left|\overrightarrow{AD}\right|$  = $\sqrt{3^2+1^2}$  = $\sqrt{10}$

          AB = $\left|\overrightarrow{AB}\right|$  =  $\sqrt{{(-1)}^2+3^2}$ =  $\sqrt{10}$

⇒ AB = AD ⇒ Hình chữ nhật ABCD là hình vuông.

Vậy ABCD là hình vuông.

b) Tâm I của hình vuông ABCD là trung điểm của AC 

⇒ $I\left(\frac{2+4}{2};\frac{1+5}{2}\right)$ ⇒ I = (3; 3).

Vậy tâm của hình vuông ABCD là I(3; 3).

Bài tập 2 trang 73 Toán lớp 10 Tập 2: Cho AB và CD là dây cung vuông góc tại E của đường tròn (O). Vẽ hình chữ nhật AECF. Dùng phương pháp tọa độ để chứng minh EF vuông góc với DB.

Lời giải:

Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ. A(a; 0), B(b; 0), C(0; c), D(0; d). Hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau tại E (trùng với gốc tọa độ O).

Vì ACEF là hình chữ nhật nên F(a; c). 

Gọi I là tâm đường tròn (O), K và H lần lượt là chân đường cao hạ từ I tới AB, CD.

⇒ K là trung điểm của AB ⇒  $K\left(\frac{a+b}{2};0\right)$.

     H là trung điểm của CD ⇒ $H\left(0;\frac{c+d}{2}\right)$

⇒ $I\left(\frac{a+b}{2};\frac{c+d}{2}\right)$ .

Ta có:  $\overrightarrow{IA}$ = $\left(a-\frac{a+b}{2};-\frac{c+d}{2}\right)$ ⇒ IA = $\left|\overrightarrow{IA}\right|$ = $\sqrt{{\left(a-\frac{a+b}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{c+d}{2}\right)}^2}$ .

          $\overrightarrow{IC}$ = $\left(-\frac{a+b}{2};c-\frac{c+d}{2}\right)$  ⇒ IC = $\left|\overrightarrow{IC}\right|$ = $\sqrt{{\left(-\frac{a+b}{2}\right)}^2+{\left(c-\frac{c+d}{2}\right)}^2}$ .

Vì IA = IC (= R) ⇒ $\sqrt{{\left(a-\frac{a+b}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{c+d}{2}\right)}^2}$  = $\sqrt{{\left(-\frac{a+b}{2}\right)}^2+{\left(c-\frac{c+d}{2}\right)}^2}$

⇔ (a − b)2 + (c + d)2 = (a + b)2 + (c − d)2

⇔ a2 − 2ab + b2 + c2 + 2cd + d2 = a2 + 2ab + b2 + c2 − 2cd + d2

⇔ 4ab = 4cd ⇔ ab = cd ⇔ ab − cd = 0 (1)

Ta có:  $\overrightarrow{EF}$ = (−a; −c},  = (−b; d)

⇒ $\overrightarrow{EF}$ . $\overrightarrow{BD}$ = (−a).(−b) − c.d = ab − cd = 0 (theo (1))

⇒  $\overrightarrow{EF}$ ⊥ $\overrightarrow{BD}$  hay EF ⊥ BD.

Vậy EF ⊥ BD.

Bài tập 3 trang 73 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tọa độ giao điểm và góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ trong mỗi trường hợp sau:

a)d1: x–y+2=0 và d2: x+y+4=0;

b) d1: $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=3+2t\end{array}\right.$  và d2: x − 3y + 2 = 0;

c) d1:  $\left\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=5+3t\end{array}\right.$ và d2: $\left\{\begin{array}{l}x=1+3t\text{'}\\ y=3+t\text{'}\end{array}\right.$ .

Lời giải:

⇒ d1 ⊥ d2 ⇒ (d1, d2) = 90°.

Gọi M là giao điểm của d1 và d2.

Khi đó tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x–y+2=0 \\ x+y+4=0\end{array}\right.$ .

Giải hệ $\left\{\begin{array}{l}x–y+2=0 \\ x+y+4=0\end{array}\right.$  ta được $\left\{\begin{array}{l}x=-3 \\ y=-1\end{array}\right.$  ⇒ M(−3; −1).

Vậy d1 và d2 vuông góc và cắt nhau tại M(−3; −1).

⇒ d₁ và d₂ cắt nhau.

Gọi M là giao điểm của d₁ và d₂.

Tọa độ giao điểm M của d₁ và d₂ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2x–y+1=0\\ x-3y+2=0\end{array}\right.$ .

Giải hệ $\left\{\begin{array}{l}2x–y+1=0\\ x-3y+2=0\end{array}\right.$  ta được $\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{5}\\ y=\frac{3}{5}\end{array}\right.$  ⇒ $M\left(-\frac{1}{5};\frac{3}{5}\right)$ .

⇒ (d1, d2) = 45°.

Vậy d1 cắt d2 tại điểm $M\left(-\frac{1}{5};\frac{3}{5}\right)$  và (d1, d2) = 45°.

c) Đường thẳng d1: $\left\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=5+3t\end{array}\right.$ đi qua điểm (2; 5) và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}$ = (−1; 3) ⇒ d1 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}$  = (3; 1),

Khi đó phương trình tổng quát của d1 là 3x + y – 11 = 0.

Đường thẳng d2: $\left\{\begin{array}{l}x=1+3t\text{'}\\ y=3+t\text{'}\end{array}\right.$  đi qua điểm (1; 3) và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_2}$ =(3; 1) ⇒ d2 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}$  = (1; −3),

Khi đó phương trình tổng quát của d2 là x − 3y + 8 = 0.

Gọi M là giao điểm của d1 và d2.

Khi đó tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}3x+y–11=0\\ x-3y+8=0\end{array}\right.$ .

Giải hệ $\left\{\begin{array}{l}3x+y–11=0\\ x-3y+8=0\end{array}\right.$  ta được $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2}\\ y=\frac{7}{2}\end{array}\right.$  ⇒ $M\left(\frac{5}{2};\frac{7}{2}\right)$

Vậy d1 và d2 vuông góc và cắt nhau tại$M\left(\frac{5}{2};\frac{7}{2}\right)$.

Bài tập 4 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Tính bán kính của đường tròn tâm M(−2; 3) và tiếp xúc với đường thẳng d: 14x − 5y + 60 = 0.

Lời giải:

Vì đường tròn tâm M tiếp xúc với đường thẳng d: 14x − 5y + 60 = 0 nên R = d(M; d)

Ta có: d(M; d) = $\frac{\left|14.(-2)-5.3+60\right|}{\sqrt{{14}^2+{(-5)}^2}}$  = $\frac{\sqrt{221}}{13}$ .

⇒ R = d(M; d) = $\frac{\sqrt{221}}{13}$

Vậybán kính của đường tròn tâm M(−2; 3) và tiếp xúc với đường thẳng d: 14x−5y+60=0là$\frac{\sqrt{221}}{13}$.

Bài tập 5 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng: Δ: 6x + 8y – 13 = 0 và Δ′: 3x + 4y – 27 = 0.

Lời giải:

Ta có Δ: 6x + 8y – 13 = 0 và Δ′: 3x + 4y – 27 = 0 có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$  =(6 ; 8) và $\overrightarrow{n_2}$  = (3 ; 4).

Khi đó:   ⇒ Δ và Δ′ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm $A\left(0;\frac{13}{8}\right)$  ∈ Δ.

Thay tọa độ điểm M vào phương trình Δ′ ta được : 3.0 + 4. $\frac{13}{8}$ – 27 = $-\frac{41}{2}$  ≠ 0.

Suy ra Δ // Δ′.

Khi đó d(Δ, Δ′) = d(A; Δ′) = $\frac{\left|3.0+4.\frac{13}{8}-27\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}$  = $\frac{41}{10}$  = 4,1.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng: Δ: 6x + 8y – 13 = 0 và Δ′: 3x + 4y – 27 = 0 là 4,1.

Bài tập 6 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn có phương trình:

a) (x − 2)2 + (y − 7)2 = 64;

b) (x + 3)2 + (y + 2)2 = 8;

c) x2 + y2 − 4x − 6y – 12 = 0.

Lời giải:

a) Phương trình đường tròn (x − 2)2 + (y − 7)2 = 64 có dạng (x − a)2 + (y − b)2 = R2.

⇒ Đường tròn có tâm I(2; 7) và bán kính R = 8.

Vậy đường tròn (x − 2)2 + (y − 7)2 = 64 có tâm I(2; 7) và bán kính R = 8.

b) Phương trình đường tròn (x + 3)2 + (y + 2)2 = 8 có dạng (x − a)2 + (y − b)2 = R2.

⇒ Đường tròn có tâm I(−3; −2) và bán kính R = $2\sqrt{2}$ .

Vậy đường tròn (x + 3)2 + (y + 2)2 = 8 có tâm I(−3; −2) và bán kính R = $2\sqrt{2}$ .

c) Phương trình x2 + y2 − 4x − 6y – 12 = 0 có dạng x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0 với a = 2, b = 3, c = −12

Ta có: a2 + b2 − c = 22 + 32 + 12 = 25 ⇒ bán kính R = $\sqrt{a^2+b^2-c }=\sqrt{25}$  = 5.

Vậy đường tròn x2 + y2 − 4x − 6y – 12 = 0 có tâm I(2; 3) và bán kính R = 5.

Bài tập 7 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:

a) Có tâm I(−2; 4) và bán kính bằng 9;

b) Có tâm I(1; 2) và đi qua điểm A(4; 5);

c) Đi qua hai điểm A(4; 1), B(6; 5) và có tâm nằm trên đường thẳng 4x + y – 16 = 0;

d) Đi qua gốc tọa độ và cắt hai trục tọa độ tại các điểm có hoành độ là a, tung độ là b.

Lời giải:

a) Phương trình đường tròn có tâm I(−2; 4) và bán kính R = 9 là: (x + 2)2 + (y − 4)2 = 81.

b) Ta có

Vì đường tròn đi qua điểm A nên  ta có: R = IA = $3\sqrt{2}$

Vậy phương trình đường tròn có tâm I(1; 2) và bán kính R = $3\sqrt{2}$ là: (x − 1)2 + (y − 2)2 = 18.

c) Phương trình đường tròn tâm I(a; b) có dạng: x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0.

Vì I(a; b) thuộc đường thẳng 4x + y − 16 = 0 và các điểm A(4; 1), B(6; 5) thuộc đường tròn nên ta có hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{array}{l}4a+b-16=0\\ 4^2+1^2-8a-2b+c=0\\ 6^2+5^2-12a-10b+c=0\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}4a+b-16=0\\ -8a-2b+c=-17\\ -12a-10b+c=-61\end{array}\right.$  ⇔ $\left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=4\\ c=15\end{array}\right.$

Vậy phương trình đường tròn là: x2 + y2 − 6x − 8y + 15 = 0.

d) Phương trình đường tròn (C) tâm I(m; n) có dạng: x2 + y2 – 2mx – 2ny + c = 0.

Vì O(0; 0) ∈ (C) nên thay tọa độ O(0; 0) vào (C) ta được c = 0

Vì (C) cắt trục hoành tại điểm có tọa độ (a; 0) và cắt trục tung tại điểm có tọa độ (0; b) nên ta có: $\left\{\begin{array}{l}{a}^2-2ma=0\\ b^2-2nba=0\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}m=\frac{a}{2}\\ n=\frac{b}{2}\end{array}\right.$  (vì a ≠ 0, b ≠ 0).

Vậy phương trình đường tròn (C) là: x2 + y2 – ax – by = 0.

Bài tập 8 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): (x − 5)² + (y − 3)² = 100 tại điểm M(11; 11).

Lời giải:

Đường tròn (C): (x − 5)2 + (y − 3)2 = 100 có tâm I(5; 3).

Khi đó phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại M(11; 11) là:

(5 − 11)(x − 11) + (3 − 11)(y − 11) = 0

⇔ −6x − 8y + 154 = 0

⇔ 3x + 4y – 77 = 0.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): (x − 5)2 + (y − 3)2 = 100 tại điểm M(11; 11) là : 3x + 4y – 77 = 0.

Bài tập 9 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài trục lớn và trục nhỏ của các elip sau:

a) $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1$ ;

b) $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ ;

c)  x2 + 16y2 = 16.

Lời giải:

a) Với (E): $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1$

Phương trình elip (E) có dạng: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

⇒ a = 10; b = 6 ⇒ c =  $\sqrt{a^2-b^2}$ = $\sqrt{{10}^2-6^2}$  = 8.

Vậy tọa độ các tiêu điểm là: (−8; 0) và (8; 0).

Tọa độ các đỉnh là: (−10; 0), (10; 0), (0; −6); (0; 6).

Độ dài trục lớn bằng 2a = 2. 10 = 20; độ dài trục nhỏ bằng 2b = 2.6 = 12.

b) Với (E): $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$

Phương trình elip (E) có dạng: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

⇒ a = 5; b = 4 ⇒ c = $\sqrt{a^2-b^2}$ = $\sqrt{5^2-4^2}$  = 3.

Vậy tọa độ các tiêu điểm là: (−3; 0) và (3; 0).

Tọa độ các đỉnh là: (−5; 0), (5; 0), (0; −4); (0; 4)

Độ dài trục lớn bằng 2a = 2. 5 = 10; độ dài trục nhỏ bằng 2b = 2. 4 = 8.

c) Ta có: x2 + 16y2 = 16 ⇔ $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{1^2}=1$ .

Phương trình elip (E) có dạng: 

⇒ a = 4; b = 1 ⇒ c = $\sqrt{a^2-b^2}$ = $\sqrt{4^2-1^2}$  = $\sqrt{15}$ .

Vậy tọa độ các tiêu điểm là: $\left(-\sqrt{15};0\right)$  và $\left(\sqrt{15};0\right)$ .

Tọa độ các đỉnh là: (−4; 0), (4; 0), (0; −1); (0; 1).

Độ dài trục lớn bằng 2a = 2. 4 = 8; độ dài trục nhỏ bằng 2b = 2. 1 = 2.

Bài tập 10 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của elip thỏa mãn từng điều kiện:

a) Đỉnh (5; 0), (0; 4);

b) Đỉnh (5; 0), tiêu điểm (3; 0);

c) Độ dài trục lớn 16, độ dài trục nhỏ 12;

d) Độ dài trục lớn 20, tiêu cự 12.

Lời giải:

a) Elip có đỉnh (5; 0), (0; 4) ⇒ a = 5; b = 4.

⇒ Phương trình elip (E) là: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ .

Vậy elip thỏa mãn điều kiện đỉnh (5; 0), (0; 4) là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ .

b) Elip có đỉnh (5; 0) ⇒ a = 5; tiêu điểm (3; 0) ⇒ c = 3

⇒ b = $\sqrt{a^2-c^2}$  = $\sqrt{5^2-3^2}$  = 4

Vậy phương trình elip cần tìm là: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ .

c) Vì độ dài trục lớn 16, độ dài trục nhỏ 12 nên ta có: 2a = 16; 2b = 12 

⇒ a = 8; b = 6

⇒ Phương trình elip (E) là: $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1$ .

Vậy phương trình elip cần tìm là: $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1$ .

d) Vì độ dài trục lớn 20, tiêu cự 12 nên ta có: 2a = 20; 2c = 12 

⇒ a = 10; c = 6 

⇒ b = $\sqrt{a^2-c^2}$  = $\sqrt{{10}^2-6^2}$  = 8.

⇒ Phương trình elip (E) là: $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$ .

Vậy phương trình elip cần tìm là: $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$ .

Bài tập 11 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài trục thực và trục ảo của các hypebol sau:

a)$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$;

b) $\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$ ;

c) x2 − 16y2 =16;

d) 9x2 − 16y2 = 144.

Lời giải:

a) Với hypebol (H): $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$

Phương trình hypebol (H) có dạng: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

⇒ a = 4; b = 3 ⇒ c =  $\sqrt{a^2+b^2}$ = $\sqrt{4^2+3^2}$  = 5.

Vậy tọa độ các tiêu điểm là (−5; 0), (5; 0).

Tọa độ các đỉnh là (−4; 0), (4; 0).

Độ dài trục thực là: 2a = 2. 4 = 8; độ dài trục ảo là: 2b = 2. 3 = 6.

b) Với hypebol (H): $\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$

Phương trình hypebol (H) có dạng: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

⇒ a = 8; b = 6 ⇒ c = $\sqrt{a^2+b^2}$ = $\sqrt{8^2+6^2}$  = 10.

Vậy tọa độ các tiêu điểm là (−10; 0), (10; 0)

Tọa độ các đỉnh là (−8; 0), (8; 0)

Độ dài trục thực là: 2a = 2. 8 = 16; độ dài trục ảo là: 2b = 2. 6 = 12.

c) Ta có: x2 − 16y2 =16 ⇔ $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{1^2}=1$

⇒ a = 4; b = 1 ⇒ c = $\sqrt{a^2+b^2}$  = $\sqrt{4^2+1^2}$  = $\sqrt{17}$ .

Vậy tọa độ các tiêu điểm là $\left(-\sqrt{17};0\right)$  , $\left(\sqrt{17};0\right)$

Tọa độ các đỉnh là (−4; 0), (4; 0)

Độ dài trục thực là: 2a = 2. 4 = 8; độ dài trục ảo là: 2b = 2. 1 = 2.

d) Ta có: 9x2 − 16y2 = 144 ⇔   $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$

⇒ a = 4; b = 3 ⇒ c = $\sqrt{a^2+b^2}$  = $\sqrt{4^2+3^2}$  =5.

Vậy tọa độ các tiêu điểm là (−5; 0), (5; 0)

Tọa độ các đỉnh là (−4; 0), (4; 0).

 Độ dài trục thực là: 2a = 2. 4 = 8; độ dài trục ảo là: 2b = 2. 3 = 6.

Bài tập 12 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của hypebol thỏa mãn từng điều kiện sau:

a) Đỉnh (3; 0), tiêu điểm (5; 0);

b) Độ dài trục thực 8, độ dài trục ảo 6.

Lời giải:

a) Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H) là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ .

Hypebol có đỉnh (3; 0) ⇒ a = 3; tiêu điểm (5; 0) ⇒  c = 5.

⇒ b =  $\sqrt{c^2-a^2}$ =$\sqrt{5^2-3^2}$  = 4.

Thay a = 3 và b = 4 vào phương trình $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ , ta được:

$\frac{x^2}{3^2}-\frac{y^2}{4^2}=1$⇔$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là: $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$

b)  Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H) là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

Hypebol có độ dài trục thực 8, độ dài trục ảo 6 nên 2a = 8; 2b = 6 

⇒ a = 4; b = 3.

Thay a = 4 và b = 3 vào phương trình $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ , ta được:

$\frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{3^2}=1$⇔$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$.

Vậy phương trình hypebol là:  $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$.

Bài tập 13 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn của các parabol sau:

a) y2 = 12x;                       

b) y2 = x.

Lời giải:

a) Với parabol y2 = 12x :                       

Phương trình parabol có dạng: y2 = 2px ⇒ 2p = 12 ⇒ p = 6 ⇒ $\frac{p}{2}$  = 3.

Vậy tọa độ tiêu điểm là (3; 0) và phương trình đường chuẩn là  x + 3 = 0.

b) Với parabol y2 = x:

Phương trình parabol có dạng: y2 = 2px ⇒ 2p = 1 ⇒ p = $\frac{1}{2}$  ⇒ $\frac{p}{2}$  = $\frac{1}{4}$ .

Vậy tọa độ tiêu điểm là $\left(\frac{1}{4};0\right)$  và phương trình đường chuẩn là x + $\frac{1}{4}$  = 0.

Bài tập 14 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của parabol thỏa mãn từng điều kiện sau:

a) Tiêu điểm (4; 0);

b) Đường chuẩn có phương trình x = $-\frac{1}{6}$ ;

c) Đi qua điểm (1; 4);

d) Khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng 8.

Lời giải:

a) Parabol (P) có tiêu điểm (4; 0) ⇒ $\frac{p}{2}$  = 4 ⇒ p = 8.

⇒ Phương trình parabol (P) là: y2 = 2.8x = 16x.

Vậy phương trình parabol (P) là: y2 = 16x.

b. Parabol (P) có đường chuẩn là  x = $-\frac{1}{6}$ ⇒ p = $\frac{1}{3}$

⇒ Phương trình parabol (P) là: y2 = 2. $\frac{1}{3}$ x = $\frac{2}{3}$ x.

Vậy phương trình parabol (P) là: y2=$\frac{2}{3}$x.

c)  Parabol (P) đi qua điểm (1; 4) nên thay tọa độ (1; 4) vào phương trình : y2 = 2px, ta được: 42  = 2p. 1 ⇒ p = 8.

⇒ Phương trình parabol (P) là: y2 = 2.8x = 16x.

Vậy phương trình parabol (P) là: y2 = 16x.

d) Parabol (P) tiêu điểm $F\left(\frac{p}{2};0\right)$ , phương trình đường chuẩn ∆ : x + $\frac{p}{2}$  = 0.

Vì parabol (P) có khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng 8 nên:

d(F, Δ) = 8 ⇔ $\frac{\left|\frac{p}{2}+\frac{p}{2}\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}$  = 8 ⇔ p = 8.

⇒ Phương trình parabol (P) là: y2 = 2.8x = 16x.

Vậy phương trình parabol (P) là: y2=16x.

Bài tập 15 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2:  Một gương lõm có mặt cắt hình parabol như Hình 1, có tiêu điểm cách đỉnh 5 cm. Cho biết bề sâu của gương là 45 cm, tính khoảng cách AB.

Lời giải:

Vì parabol (P) có tiêu điểm cách đỉnh 5 cm ⇒ Tiêu điểm có tọa độ (5; 0) ⇒ p = 10

⇒ Phương trình parabol (P): y2 = 20x.

Ta có điểm A(45; yA) ∈ (P) nên thay tọa độ A vào phương trình (P), ta được:

yA2 = 20. 45 ⇒ yA = 30

⇒ AB = 2. 30 = 60 (cm).

Vậy khoảng cách AB là 60cm.

Bài tập 16 trang 75 Toán lớp 10 Tập 2: Một bộ thu năng lượng mặt trời để làm nóng nước được làm bằng một tấm thép không gỉ có mặt cắt hình parabol (Hình 2). Nước sẽ chảy thông qua một dường ống nằm ở tiêu điểm của parabol.

a) Viết phương trình chính tắc của parabol.

b) Tính khoảng cách từ tâm đường ống đến đỉnh của parabol.

Lời giải:

a) Chọn hệ tọa độ như hình vẽ:

Phương trình parabol (P) có dạng: y2 = 2px.

Ta có: A(1; 3) ∈ (P) nên thay tọa độ điểm A vào phương trình (P), ta được:

32 = 2p. 1 ⇒ p = $\frac{9}{2}$ .

Vậy phương trình chính tắc của parabol (P) là: y2 = 9x.

b) Vì đường ống nằm ở tiêu điểm của (P) nên khoảng cách từ tâm đường ống đến đỉnh của parabol bằng: $\frac{p}{2}$  = 2,25 (m).

Vậy khoảng cách từ tâm đường ống đến đỉnh của parabol khoảng 2,25 mét.

Bài tập 17 trang 75 Toán lớp 10 Tập 2: Cổng chào của một thành phố có dạng hình parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là 192 m (Hình 3). Từ một điểm M trên thân cổng, người ta đo được khoảng cách đến mặt đất là 2 m và khoảng cách từ chân đường vuông góc vẽ từ M xuống mặt đất đến chân cổng gần nhất là 0,5 m. Tính chiều cao của cổng.

Lời giải:

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ:

Gọi phương trình parabol là y2 = 2px.

Gọi chiều cao của cổng là OH = h.

Khoảng cách giữa hai chân cổng là AB = 192 ⇒ AH = 96 ⇒ Điểm A có tọa độ (h; 96).

Ta có: AC = 0,5; DH = MC = 2 ⇒ Điểm M có tọa độ (h − 2; 95,5).

Vì A và M thuộc parabol (P) nên ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}{96}^2=2ph\\ {\mathrm{95,5}}^2=2p(h-2)\end{array}\right.$ ⇒ $\frac{{96}^2}{{\mathrm{95,5}}^2}=\frac{h}{h-2}$  ⇒ h = $\frac{{2.96}^2}{{96}^2-{\mathrm{95,5}}^2}$  ≈ 192,5 (m)

Vậy chiều cao của cổng khoảng 192,5 m.

Bài tập 18 trang 75 Toán lớp 10 Tập 2: Một người đứng ở giữa một tấm ván gỗ đặt trên một giàn giáo để sơn tường nhà. Biết rằng giàn giáo dài 16 m và độ võng tại tâm của ván gỗ (điểm ở giữa ván gỗ) là 3 cm (Hình 4). Cho biết đường cong của ván gỗ có hình parabol.

a) Giả sử tấm ván gỗ trùng với đỉnh của parabol, tìm phương trình chính tắc của parabol.

b) Điểm có độ võng 1 cm cách tâm ván gỗ bao xa?

Lời giải:

a) Chọn hệ tọa độ như hình vẽ sau:

Gọi phương trình của parabol (P) có dạng: y2 = 2px.

Ta có giàn giáo dài 16 m và độ võng tại tâm của ván gỗ (điểm ở giữa ván gỗ) là 3cm = 0,03m, nên AB = 16, OH = 0,03 ⇒ điểm A có tọa độ (0,03; 8).

Vì A thuộc (P) nên thay tọa độ điểm A vào phương trình (P), ta được:

82  = 2p. 0,03 ⇒ p = $\frac{8^2}{\mathrm{2.0,03}}$  = $\frac{3200}{3}$ .

⇒ Phương trình chính tắc của parabol (P) là: y2 = 2. $\frac{3200}{3}$ x = $\frac{6400}{3}$ x.

Vậy phương trình chính tắc của parabol (P) là: y2 = $\frac{6400}{3}$ x.

b) Tại điểm có độ võng 1 cm = 0,01 m. Khi đó MI = 0,01 ⇒ M(0,02; yM)

Vì M ∈ (P) nên thay tọa độ điểm M vào phương trình (P), ta được: 

yM2 = $\frac{6400}{3}$ . 0,02 ⇒ yM =  $\frac{8\sqrt{6}}{3}$.

⇒  $M\left(\mathrm{0,02};\frac{8\sqrt{6}}{3}\right)$ ⇒ OM = $\left|\overrightarrow{OM}\right|$  = $\sqrt{{(\mathrm{0,02}-0)}^2+{\left(\frac{8\sqrt{6}}{3}-0\right)}^2}$  ≈ 6,53.

Vậy điểm M có độ võng 1 cm cách tâm ván gỗ khoảng 6,53 mét.